द्विपद वितरण का सामान्य सन्निकटन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

परीक्षणों की संख्या (n)

सफलता की प्रायिकता (p)

प्रायिकता का प्रकार P(X ≤ x) P(X < x) P(X ≥ x) P(X > x) P(X = x)

x का मान

परिणाम

अनुमानित प्रायिकता

0.868224

सामान्य सन्निकटन (सततता सुधार के साथ)

माध्य (μ = np)	10
मानक विचलन (σ)	2.2361
निचला z-स्कोर	1.118
ऊपरी z-स्कोर	1.118

द्विपद का सामान्य सन्निकटन क्या है?

जब किसी द्विपद प्रयोग में परीक्षणों (trials) की संख्या बहुत बड़ी हो, तो सटीक द्विपद प्रायिकताएँ निकालना थकाऊ और जटिल हो जाता है। ऐसे में सामान्य सन्निकटन (normal approximation) इस असतत (discrete) द्विपद वितरण की जगह एक सतत (continuous) सामान्य वितरण का उपयोग करता है, जिसका माध्य और प्रसरण द्विपद के समान ही होता है। मान लें कि एक द्विपद यादृच्छिक चर \(X\) के प्राचल \(n\) और \(p\) हैं — तब इसका माध्य \(\mu = np\) और मानक विचलन \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) होता है। इसके बाद हम \(X\) के लिए संचयी प्रायिकता का अनुमान लगाने हेतु एक सामान्य वितरण \(N(\mu, \sigma^2)\) का इस्तेमाल करते हैं।

जब \(n\) बड़ा होता है तो सामान्य वक्र असतत द्विपद बंटन का सन्निकटन करता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

परीक्षणों की संख्या n डालें, प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p (0 और 1 के बीच) भरें, प्रायिकता का प्रकार चुनें (≤, <, ≥, >, या =), और x का मान दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको \(\mu\), \(\sigma\), सततता-सुधारित z-स्कोर तथा अनुमानित प्रायिकता देगा। यह सन्निकटन तब विश्वसनीय होता है जब \(np \ge 5\) और \(n(1-p) \ge 5\) दोनों शर्तें पूरी हों।

सततता सुधार (Continuity Correction)

चूँकि द्विपद वितरण असतत होता है जबकि सामान्य वितरण सतत, इसलिए हम सीमा को 0.5 से बढ़ा या घटा देते हैं — इसी समायोजन को सततता सुधार कहते हैं। उदाहरण के लिए, \(P(X \le x)\) के लिए \(x + 0.5\) का उपयोग होता है, \(P(X \ge x)\) के लिए \(x - 0.5\) का, और \(P(X = x)\) के लिए \(x - 0.5\) से \(x + 0.5\) तक की सीमा ली जाती है। हर समायोजित सीमा को निम्न सूत्र से z-स्कोर में बदला जाता है

$$z = \frac{(x \pm 0.5) - \mu}{\sigma}$$

और फिर मानक सामान्य CDF से उसका मान निकाला जाता है।

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सांतत्य संशोधन: \(x\) पर एक असतत पट्टी वक्र के नीचे \(x-0.5\) से \(x+0.5\) तक फैलती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(n = 20\), \(p = 0.5\) है और हमें \(P(X \le 12)\) ज्ञात करनी है। तब

$$\mu = 20 \times 0.5 = 10$$$$\sigma = \sqrt{20 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.2361$$

सततता सुधार लगाने पर

$$z = \frac{12.5 - 10}{2.2361} \approx 1.118$$

मानक सामान्य CDF से \(\Phi(1.118) \approx 0.868\) मिलता है, अर्थात् \(P(X \le 12) \approx 0.868\) — जो सटीक द्विपद मान के बहुत करीब है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

यह सन्निकटन कब मान्य होता है? एक आम नियम यह है कि \(np \ge 5\) और \(n(1-p) \ge 5\) हो। जब \(p\), 0.5 से काफी दूर हो, तो आपको बड़े \(n\) की आवश्यकता पड़ सकती है।

±0.5 क्यों लगाते हैं? 0.5 का सततता सुधार असतत स्तंभों (bars) को एक चिकने वक्र से अनुमानित करने की भरपाई करता है, जिससे सटीकता बढ़ती है।

क्या इससे सटीक प्रायिकता मिलती है? नहीं — यह केवल एक अनुमान है। सटीक परिणामों के लिए, खासकर छोटे \(n\) के मामले में, द्विपद प्रायिकता कैलकुलेटर का उपयोग करें।