이항분포의 정규근사란?
이항 실험의 시행 횟수가 커지면 정확한 이항확률을 일일이 계산하기가 번거로워집니다. 이때 정규근사는 이산형인 이항분포를, 평균과 분산이 같은 연속형 정규분포로 바꿔서 계산하는 방법입니다. 모수가 n과 p인 이항확률변수 \(X\)는 평균 \(\mu = np\), 표준편차 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)를 가집니다. 따라서 \(X\)에 대해 정규분포 \(N(\mu, \sigma^2)\)를 사용하면 누적확률을 손쉽게 추정할 수 있습니다.
계산기 사용 방법
시행 횟수 n, 한 번의 시행에서 성공할 확률 p(0과 1 사이), 확률 유형(≤, <, ≥, >, 또는 =), 그리고 값 x를 입력하세요. 계산기는 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\), 연속성 보정을 적용한 z값, 그리고 근사확률을 보여줍니다. 이 근사는 \(np \ge 5\)이면서 동시에 \(n(1-p) \ge 5\)일 때 신뢰할 수 있습니다.
연속성 보정이란?
이항분포는 이산형이지만 정규분포는 연속형이기 때문에, 경계값을 0.5만큼 넓히거나 좁혀 주는데 이것을 연속성 보정이라고 합니다. 예를 들어 \(P(X \le x)\)에는 \(x + 0.5\)를, \(P(X \ge x)\)에는 \(x - 0.5\)를 사용하며, \(P(X = x)\)는 \(x - 0.5\)부터 \(x + 0.5\)까지의 구간으로 봅니다. 이렇게 보정한 각 경계값을 다음 공식으로 z값으로 변환한 뒤, 표준정규분포의 누적분포함수(CDF)로 계산합니다.
$$z = \frac{(x \pm 0.5) - \mu}{\sigma}$$
예제로 풀어보기
n = 20, p = 0.5일 때 \(P(X \le 12)\)를 구한다고 해봅시다. 그러면 \(\mu = 20 \times 0.5 = 10\)이고 $$\sigma = \sqrt{20 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.2361$$입니다. 연속성 보정을 적용하면 $$z = \frac{12.5 - 10}{2.2361} \approx 1.118$$이 됩니다. 표준정규분포 CDF에서 \(\Phi(1.118) \approx 0.868\)이므로 \(P(X \le 12) \approx 0.868\)이 되며, 이는 정확한 이항확률값과 매우 가깝습니다.
자주 묻는 질문
이 근사는 언제 사용할 수 있나요? 일반적인 기준은 \(np \ge 5\)이면서 \(n(1-p) \ge 5\)입니다. p가 0.5에서 많이 벗어날수록 더 큰 n이 필요할 수 있습니다.
왜 ±0.5를 더하거나 빼나요? 0.5의 연속성 보정은 이산형 막대그래프를 매끄러운 곡선으로 근사하면서 생기는 오차를 보완해 정확도를 높여줍니다.
정확한 확률값이 나오나요? 아니요, 어디까지나 근사값입니다. 특히 n이 작을 때 정확한 값이 필요하다면 이항확률 계산기를 사용하세요.
