이항분포 확률 계산기란?
이 계산기는 매번 성공 확률이 동일한 n번의 독립 시행에서 정확히 k번 성공할 확률을 구해 줍니다. 동전을 정해진 횟수만큼 던지는 경우, 한 묶음 안에서 불량품 개수를 세는 경우, 농구 선수가 자유투를 몇 번 성공하는지 따지는 경우처럼 우리 주변의 많은 상황이 이항분포를 따릅니다.
사용 방법
시행 횟수(n), 관심 있는 성공 횟수(k), 그리고 한 번의 시행에서의 성공 확률(p, 0과 1 사이의 값)을 입력하세요. 계산기는 정확 확률 \(P(X = k)\)와 두 가지 누적 확률 \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\), 그리고 분포의 평균과 표준편차를 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
이항분포 확률 공식은 다음과 같습니다.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \, (1 - p)^{n - k}$$
여기서 \(C(n,k)\)는 이항계수로, n번의 시행 중 k번의 성공을 배열하는 경우의 수를 뜻합니다. \(p^{k}\)는 그 k번이 모두 성공할 확률, \((1 - p)^{n - k}\)는 나머지 n − k번이 모두 실패할 확률입니다. 분포의 평균은 \(n \cdot p\)이고, 표준편차는 \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)입니다.
예제로 살펴보기
공정한 동전을 10번 던졌을 때(n = 10, p = 0.5) 앞면이 정확히 3번 나올 확률(k = 3)을 구해 봅시다. \(C(10,3) = 120\)이므로 $$P = 120 \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{7} = 120 \cdot 0.0009765625 = \mathbf{0.1171875}$$ 약 11.7%가 됩니다.
더 많은 풀이 예제
각 예제는 이항 확률 공식 \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)를 사용합니다. 여기서 \(n\)은 독립 시행의 개수, \(p\)는 각 시행에서의 성공 확률, \(k\)는 관심 있는 성공의 개수입니다.
예제 1 — 불량품, P(X ≤ 2)
한 배송의 불량률이 \(p = 0.05\)입니다. \(n = 20\)개 항목의 무작위 표본에서 최대 2개가 불량일 확률은 얼마입니까? \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\)를 구해야 합니다.
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
\(\binom{20}{2} = 190\)임을 주목하세요. 세 항을 더하면:
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$따라서 정확히 2개의 불량품이 있을 약 0.188677의 확률과 2개 이하일 대략 92.5%의 확률이 있습니다. 이 분포는 평균 \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\)개의 불량품과 표준편차 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\)를 갖습니다.
예제 2 — 자유투, P(X ≥ 4)
선수가 \(p = 0.8\)의 확률로 자유투를 성공시키고 \(n = 5\)번 슛을 합니다. 최소 4개를 성공시킬 확률은 얼마입니까? \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\)를 구해야 합니다.
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
\(\binom{5}{4} = 5\)이고 \(\binom{5}{5} = 1\)입니다. 합하면:
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$선수는 5번 슛 중 최소 4개를 약 73.7%의 확률로 성공시킵니다. 성공한 슛의 예상 개수는 \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\)이고 표준편차는 \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\)입니다. 가장 가능성이 높은 단일 결과는 \(P(X = 4) = \)0.4096입니다.
예제 3 — 설문 응답, 정확한 값
30% 사람들 \((p = 0.3)\)이 브랜드를 인식하고 \(n = 10\)명을 설문합니다. 정확히 3명이 인식할 확률은:
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$\(\binom{10}{3} = 120\)이므로 결과는 \(P(X=3) \approx\) 0.266828입니다. 평균은 \(\mu = np = 3\)명으로, 가장 가능성 높은 개수와 일치하며, \(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\)입니다.
핵심 용어 및 변수
| 기호 / 용어 | 의미 |
|---|---|
| \(n\) — 시행의 개수 | 실험의 고정된 총 독립 반복 횟수(예: 검사된 항목, 시도된 슛). 음이 아닌 정수여야 합니다. |
| \(k\) — 성공의 개수 | 확률을 구하려는 성공한 결과의 특정 개수이며, \(0 \le k \le n\)입니다. |
| \(p\) — 성공 확률 | 모든 시행에서 동일한 단일 시행에서의 성공 확률. 0과 1 사이의 값입니다. |
| \(q = 1 - p\) — 실패 확률 | 단일 시행에서의 실패 확률. 각 시행이 성공 또는 실패이므로 \(p + q = 1\)입니다. |
| \(\binom{n}{k}\) — 이항 계수 | \(n\)번의 시행 중에서 \(k\)번의 성공을 선택하는 서로 다른 방법의 개수입니다. "n개 중에 k개"로 읽으며: \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)입니다. |
| \(P(X = k)\) — 정확한 확률 | 정확히 \(k\)번의 성공을 얻을 확률: \(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\)입니다. |
| \(P(X \le k)\) — 누적 확률 (이하) | \(k\)번 이하의 성공 확률이며, 합 \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\)입니다. |
| \(P(X \ge k)\) — 누적 확률 (이상) | \(k\)번 이상의 성공 확률이며, \(1 - P(X \le k-1)\)과 같습니다. |
| \(\mu = np\) — 평균 | \(n\)번의 시행 실험을 여러 번 반복할 때 기댓값(평균) 성공 횟수입니다. |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — 표준편차 | 성공 횟수가 평균 주위에서 일반적으로 얼마나 많이 변하는지를 나타내는 척도입니다. |
결과 해석하기
이항 계산기는 관련되지만 구별되는 세 가지 질문에 답할 수 있으며, 출력 결과를 실제로 묻는 질문과 일치시키는 것이 중요합니다.
- 정확한 확률, \(P(X = k)\): 정확히 \(k\)번 성공할 확률로 그 이상도 이하도 아닙니다. "정확히 3개의 불량품일 확률은?"과 같은 질문에 사용합니다. 단일 결과를 고정하므로 이 값은 일반적으로 아래의 누적 확률보다 작습니다.
- 이하, \(P(X \le k)\): \(k\) 이하의 성공 확률입니다. 0, 1, …, k의 확률을 더합니다. "이상 없음", "최대", 또는 "이하"라는 표현의 질문에 사용합니다.
- 이상, \(P(X \ge k)\): \(k\) 이상의 성공 확률입니다. 편리한 바로가기는 \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\)입니다. "최소", "이상 없음", 또는 "최소"라는 표현의 질문에 사용합니다.
경계를 주의깊게 보세요: "\(k\)보다 많음"은 \(P(X \ge k+1)\)을 의미하고, "\(k\)보다 적음"은 \(P(X \le k-1)\)을 의미합니다. 단 한 단어가 어떤 항을 합하는지를 바꿉니다.
평균 \(\mu = np\)는 기댓값 성공 횟수입니다. 전체 \(n\)번 시행 실험을 여러 번 반복할 때의 장기 평균 개수입니다. \(n = 20\)개 항목에서 \(p = 0.05\)일 때, 평균적으로 \(\mu = 1\)개의 불량품을 예상하지만, 어떤 단일 표본도 0개, 1개, 2개 이상을 가질 수 있습니다. 평균은 또한 가장 가능성 높은 단일 결과이므로 \(k\)를 \(np\)와 비교하면 전형적인 결과를 묻는지 또는 비정상적인 결과를 묻는지를 알 수 있습니다.
표준편차 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)는 평균 주위의 결과 분산을 설명합니다. 대부분의 결과는 평균의 약 1~2 표준편차 이내입니다. \(k\)가 평균으로부터 여러 표준편차 떨어져 있으면 대응하는 확률은 작으며, 이것이 정확히 "꼬리" 사건이 놀랍게 느껴지는 이유입니다. \(n\)이 크고 \(p\)가 0이나 1에 너무 가깝지 않으면 이항 분포는 이 동일한 평균과 표준편차를 가진 정규 분포에 근사하므로 누적 확률에 대한 정규 곡선 근사를 허용합니다.
이는 출력을 읽는 데 도움이 되는 일반적인 통계 정보입니다. 결과에 의존하기 전에 항상 시나리오가 이항 가정(고정된 독립 시행 개수, 시행당 두 개의 결과, 상수 성공 확률)을 충족하는지 확인하세요.
자주 묻는 질문
이항분포는 언제 사용할 수 있나요? 시행 횟수가 정해져 있고, 각 시행이 서로 독립이며, 결과가 두 가지(성공/실패)뿐이고, 성공 확률이 일정할 때 사용할 수 있습니다.
\(P(X \ge k)\)는 무슨 뜻인가요? 성공이 최소 k번 이상 나올 확률을 말합니다. "k번 이상" 같은 질문에 답할 때 유용합니다.
p가 1보다 커도 되나요? 안 됩니다. 확률은 반드시 0과 1 사이여야 하며, 이 범위를 벗어나는 값은 자동으로 0~1 범위로 조정됩니다.
