최대 k회 성공 확률이란?
이 계산기는 누적 이항 확률 \(P(X \le k)\)를 구합니다. 즉, 각 시행이 확률 p로 성공할 때 n번의 독립 시행에서 성공이 최대 k회 나올 확률입니다. 0회 성공부터 k회 성공까지 각각의 이항 확률을 모두 더한 값으로, 이항분포의 하단 꼬리(누적분포함수, CDF)에 해당합니다.
사용 방법
시행 횟수 n, 허용할 최대 성공 횟수인 기준값 k, 그리고 한 번의 시행당 성공 확률 p를 0과 1 사이의 소수로 입력하세요. 계산기는 \(P(X \le k)\)와 이를 백분율로 나타낸 값, 여사건 확률 \(P(X > k)\), 그리고 기대 성공 횟수 \(np\)를 함께 보여줍니다.
공식 풀이
정확히 i회 성공할 확률은 이항 항 \(\binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}\)로 표현됩니다. 여기서 \(\binom{n}{i}\)는 n번 중 어떤 i번이 성공할지 고르는 경우의 수입니다. "최대 k회"를 구하려면 이 항들을 i = 0, 1, …, k까지 모두 더하면 됩니다.
$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{\,i}\, (1-p)^{\,n-i}$$본 계산기는 인접한 항 사이의 수치적으로 안정된 점화식을 사용하므로, n이 큰 경우에도 정확한 결과를 유지합니다.
예제로 이해하기
공정한 동전을 10번 던진다고 합시다(\(n = 10\), \(p = 0.5\)). 앞면이 최대 3번 나올 확률(\(k = 3\))을 구해 봅니다. 0, 1, 2, 3회 성공에 해당하는 경우의 수를 더하면 \(1 + 10 + 45 + 120 = 176\)가지이며, 전체 경우의 수는 \(2^{10} = 1024\)입니다. 따라서 $$P(X \le 3) = \frac{176}{1024} \approx 0.171875,$$ 즉 약 17.19%가 됩니다.
자주 묻는 질문
"최대 k회"와 "정확히 k회"는 어떻게 다른가요? "정확히 k회"는 단일 항 \(\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)인 반면, "최대 k회"는 0부터 k까지의 모든 항을 더한 값입니다.
"최소 k회"는 어떻게 구하나요? \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) 공식을 사용하세요. 여기 표시되는 여사건 행은 \(P(X > k) = 1 - P(X \le k)\)를 알려줍니다.
p가 0이나 1이어도 되나요? 네, 가능합니다. \(p = 0\)이면 모든 시행이 실패하므로 \(k \ge 0\)인 모든 경우에 \(P(X \le k) = 1\)이 됩니다. \(p = 1\)이면 모든 시행이 성공하므로 \(k \ge n\)일 때만 값이 1이 됩니다.
