이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 동전을 n번 던졌을 때 정확히 k번 앞면이 나올 확률을 계산합니다. 정해진 횟수의 독립적인 '예/아니오' 시행에서 성공 횟수를 다루는 이항확률분포를 사용합니다. 기본값은 공정한 동전(앞면이 나올 확률 \(p = 0.5\))을 가정하지만, 0과 1 사이의 어떤 값이든 입력해 한쪽으로 치우친 동전도 모델링할 수 있습니다.
사용 방법
전체 던지는 횟수 n, 목표로 하는 앞면 횟수 k(0부터 n까지 가능), 그리고 한 번 던졌을 때 앞면이 나올 확률 p를 입력하세요. 계산기는 정확한 확률을 소수와 백분율로 함께 보여 주고, 그 앞면들이 나올 수 있는 서로 다른 경우의 수 \(C(n,k)\)도 알려 줍니다.
공식 풀이
정확히 k번 성공할 이항확률은 다음과 같습니다.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$
여기서 \(C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)\)는 이항계수로, n번의 던지기 중 어떤 k번이 앞면일지 고르는 경우의 수를 뜻합니다. \(p^{k}\)는 고른 그 던지기들이 모두 앞면일 확률, \((1-p)^{n-k}\)는 나머지가 모두 뒷면일 확률입니다. 공정한 동전(\(p = 0.5\))이라면 이 식은 \(P = C(n,k) \times 0.5^{n}\)으로 간단해집니다.
예제로 살펴보기
공정한 동전을 10번 던져 정확히 5번 앞면이 나올 확률은 얼마일까요? \(C(10,5) = 252\)이고, \(0.5^{10} = 1/1024 \approx 0.0009766\)입니다. 따라서 $$P = 252 \times 0.0009766 \approx 0.2461$$ 약 24.6%입니다. 가장 나올 법한 단일 결과이지만, 그래도 네 번에 한 번이 채 안 되는 셈이지요.
자주 묻는 질문
왜 절반이 앞면일 확률이 50%가 아닌가요? 나머지 결과들(앞면 4번, 6번, 7번 등)이 남은 확률을 나눠 가지기 때문입니다. 정확히 \(k = n/2\)가 나오는 경우는 넓게 퍼진 분포의 정점일 뿐입니다.
k가 n보다 클 수 있나요? 아니요. 던진 횟수보다 더 많은 앞면이 나올 수는 없으므로, k가 n을 넘어서면 확률은 0이 됩니다.
치우친 동전은 어떻게 모델링하나요? p에 실제 앞면 확률을 입력하세요. 예를 들어 앞면이 60% 확률로 나오는 동전이라면 0.6을 넣으면 됩니다.
