축척(닮음비)이란?
축척은 보통 k로 표기하며, 어떤 도형의 모든 길이에 곱해 더 크거나 작은 닮은꼴 도형을 만드는 수입니다. 이는 확대·축소(dilation)를 나타내는데, k > 1이면 도형이 커지고, 0 < k < 1이면 작아지며, k = 1이면 크기가 그대로 유지됩니다. 축척은 도형의 닮음, 지도, 설계 도면, 모형 제작, 이미지 크기 조정 등 다양한 곳에서 쓰입니다.
계산기 사용 방법
원래 길이(기준이 되는 도형의 한 길이)와 그에 대응하는 변환된 길이(크기가 바뀐 도형의 같은 부분 길이)를 입력하세요. 계산기는 변환된 값을 원래 값으로 나누어 길이의 축척 \(k\)를 구한 뒤, 이를 제곱해 넓이비를, 세제곱해 부피비를 자동으로 계산합니다.
공식 풀이
핵심 관계는 다음과 같습니다.
$$k = \dfrac{\text{변환된 길이}}{\text{원래 길이}}$$넓이는 2차원이므로 \(k^2\)만큼 변하고, 부피는 3차원이므로 \(k^3\)만큼 변합니다.
$$\text{넓이비} = k^{2} \qquad \text{부피비} = k^{3}$$예를 들어 모든 길이를 두 배(\(k = 2\))로 늘리면 넓이는 4배, 부피는 8배로 커집니다.
예제로 풀어보기
원래 길이가 4cm인 모형에서 대응하는 변환된 길이가 10cm라고 해봅시다. 그러면 다음과 같습니다.
$$k = 10 \div 4 = 2.5$$넓이비는 \(2.5^2 = 6.25\)로, 새 도형의 표면적이 6.25배라는 뜻입니다. 부피비는 \(2.5^3 = 15.625\)이므로 부피는 약 15.6배가 됩니다.
자주 묻는 질문
축척이 1보다 작으면 어떤 의미인가요? 도형이 작아진다는 뜻입니다. 예를 들어 \(k = 0.5\)이면 모든 길이가 절반으로 줄어듭니다.
넓이는 왜 \(k\)가 아니라 \(k^2\)를 쓰나요? 넓이는 두 길이를 곱해서 구하는데, 각 길이가 모두 \(k\)배 되므로 \(k \times k = k^2\)가 됩니다.
아무 단위나 써도 되나요? 네, 원래 길이와 변환된 길이가 같은 단위이기만 하면 축척은 단위가 없는 값으로 나옵니다.
