배율(축척)이란?
배율(축척, scale factor)은 한 도형의 길이에 곱해서 그와 닮은 도형을 만들어 내는 수를 말합니다. 두 도형이 서로 닮음이면 대응하는 변끼리의 비가 모두 같은데, 바로 이 일정한 비율이 배율이며 보통 k로 표기합니다. k가 1보다 크면 도형이 커지는 확대, 0과 1 사이이면 작아지는 축소가 됩니다.
계산기 사용법
먼저 무엇을 구할지 선택하세요. 배율을 구하려면 원래 길이와 새(확대·축소된) 길이를 입력하면 \(k = \text{새 값} \div \text{원래 값}\)으로 자동 계산됩니다. 빠진 변의 길이를 구하려면 알고 있는 한 변의 길이와 배율을 넣으면 \(\text{새 값} = k \times \text{원래 값}\) 또는 \(\text{원래 값} = \text{새 값} \div k\)로 답을 구해 줍니다. 결과에는 넓이 배율인 \(k^2\)도 함께 표시됩니다.
공식 풀이
닮음 도형에서 대응하는 변들은 서로 비례합니다:
$$k = \dfrac{\text{새 값}}{\text{원래 값}}$$이 식을 변형하면 다음과 같이 됩니다.
$$\text{새 값} = k \times \text{원래 값}$$$$\text{원래 값} = \dfrac{\text{새 값}}{k}$$넓이는 두 방향의 길이에 따라 정해지므로 \(k^2\)만큼, 부피는 세 방향이므로 \(k^3\)만큼 변합니다. 따라서 모든 길이를 두 배로 늘리면(\(k = 2\)) 넓이는 4배, 부피는 8배가 됩니다.
예제로 풀어 보기
폭이 4인치인 사진을 확대해 새 폭이 10인치가 되었다고 합시다. 이때 배율은 \(k = 10 \div 4 = 2.5\)입니다. 원래 높이가 6인치라면 새 높이는 \(2.5 \times 6 = 15\)인치가 됩니다. 또한 확대된 사진의 넓이는 원래의 \(2.5^2 = 6.25\)배가 됩니다.
자주 묻는 질문
배율이 1보다 작으면 무슨 뜻인가요? 축소를 의미합니다. 즉 새 도형이 원래 도형보다 작아진다는 뜻이죠. 예를 들어 \(k = 0.5\)라면 모든 길이가 절반으로 줄어듭니다.
배율에 따라 넓이는 어떻게 변하나요? 넓이는 \(k^2\)만큼 변합니다. 따라서 배율이 3이면 넓이는 9배 커집니다.
배율이 음수가 될 수도 있나요? 순수한 닮음 도형의 기하에서는 항상 양수로 봅니다. 음수 값은 반사(대칭)가 포함된 좌표 변환에서만 나타나는데, 이 계산기는 그런 경우는 다루지 않습니다.
