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परिणाम

Scale Factor (k)

2.5

स्केल फैक्टर k = नया ÷ मूल

स्केल फैक्टर (k)	2.5
मूल माप	4
नया माप	10
क्षेत्रफल स्केल फैक्टर (k²)	6.25

स्केल फैक्टर क्या होता है?

स्केल फैक्टर वह संख्या है जिससे किसी आकृति के मापों को गुणा करके आप एक समरूप (similar) आकृति बनाते हैं। जब दो आकृतियाँ समरूप होती हैं, तो उनकी हर संगत भुजाओं की लंबाइयों का अनुपात समान रहता है — यही अनुपात स्केल फैक्टर कहलाता है, जिसे आमतौर पर $k$ से दर्शाया जाता है। 1 से बड़ा स्केल फैक्टर आकृति को बड़ा (enlargement) करता है, जबकि 0 और 1 के बीच का मान आकृति को छोटा (reduction) कर देता है।

दो समरूप आयत, एक छोटा मूल और एक बड़ी प्रतिलिपि, संगत भुजाओं पर लेबल के साथ — समरूप आकृतियों का आकार समान होता है; नई आकृति की प्रत्येक भुजा मूल भुजा का स्केल गुणक होती है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सबसे पहले चुनें कि आप क्या ज्ञात करना चाहते हैं। स्केल फैक्टर निकालने के लिए मूल माप और नया (स्केल किया गया) माप दर्ज करें — कैलकुलेटर $$k = \dfrac{\text{नया}}{\text{मूल}}$$ की गणना कर देगा। किसी अज्ञात लंबाई को ज्ञात करने के लिए आपको पता माप और स्केल फैक्टर दर्ज करें, और यह $\text{नया} = k \times \text{मूल}$ या $\text{मूल} = \text{नया} \div k$ हल कर देगा। परिणाम में क्षेत्रफल स्केल फैक्टर भी दिखता है, जो $k^2$ होता है।

सूत्र की पूरी समझ

समरूप आकृतियों में संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं: $k = \text{नया} \div \text{मूल}$। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\text{नया} = k \times \text{मूल}$ और $\text{मूल} = \text{नया} \div k$ मिलता है। चूँकि क्षेत्रफल दो मापों पर निर्भर करता है, इसलिए क्षेत्रफल $k^2$ के अनुपात में बदलता है, और आयतन (volume) $k^3$ के अनुपात में। इसका मतलब है कि हर लंबाई को दोगुना करने ($k = 2$) पर क्षेत्रफल चार गुना और आयतन आठ गुना हो जाता है।

लंबाई स्केल गुणक k और संगत क्षेत्रफल स्केल गुणक k वर्ग दर्शाने वाला आरेख — लंबाई $k$ से स्केल होती है, पर क्षेत्रफल $k$ वर्ग से स्केल होता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए एक फोटो 4 इंच चौड़ी है और उसे इतना बड़ा किया जाता है कि नई चौड़ाई 10 इंच हो जाए। तब स्केल फैक्टर होगा $$k = 10 \div 4 = 2.5$$ अगर मूल ऊँचाई 6 इंच थी, तो नई ऊँचाई $2.5 \times 6 = 15$ इंच होगी। बड़ी की गई फोटो मूल क्षेत्रफल का $2.5^2 = 6.25$ गुना क्षेत्रफल घेरेगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1 से कम स्केल फैक्टर का क्या अर्थ है? यह एक reduction यानी छोटा करना है — नई आकृति मूल से छोटी होती है। उदाहरण के लिए, $k = 0.5$ हर लंबाई को आधा कर देता है।

स्केल फैक्टर के साथ क्षेत्रफल कैसे बदलता है? क्षेत्रफल $k^2$ के अनुपात में बदलता है, इसलिए 3 का स्केल फैक्टर क्षेत्रफल को 9 गुना बड़ा कर देता है।

क्या स्केल फैक्टर ऋणात्मक (negative) हो सकता है? समरूप आकृतियों की शुद्ध ज्यामिति में इसे धनात्मक माना जाता है; ऋणात्मक मान केवल परावर्तन (reflection) वाले निर्देशांक रूपांतरणों में आते हैं, जिन्हें यह कैलकुलेटर हल नहीं करता।

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