त्रिपद गुणनखंड कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a (x² का गुणांक)

b (x का गुणांक)

c (अचर पद)

परिणाम

1.0

गुणनखंडित रूप

1(x − 3)(x − 2)

द्विघात सूत्र से प्राप्त मूल

मूल r₁	3
मूल r₂	2
विविक्तकर (b²−4ac)	1

त्रिपद गुणनखंड कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल ax² + bx + c रूप के किसी भी द्विघात त्रिपद को a(x − r₁)(x − r₂) के रूप में गुणनखंडित करता है, जहाँ r₁ और r₂ द्विघात सूत्र से निकाले गए मूल हैं। यह किसी भी वास्तविक गुणांक के लिए काम करता है और जैसे ही त्रिपद वास्तविक संख्याओं में गुणनखंडित नहीं हो सकता, तुरंत बता देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

तीन गुणांक डालें: a (x² का गुणांक), b (x का गुणांक) और c (अचर पद)। फिर 'गणना करें' दबाएं। कैलकुलेटर आपको दोनों मूल, विविक्तकर \(b^{2} - 4ac\) और पूरी तरह गुणनखंडित रूप लौटा देगा।

सूत्र की व्याख्या

मूल द्विघात सूत्र $$x_{1,2} = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ से निकलते हैं। वर्गमूल के नीचे की राशि, \(\Delta = b^{2} - 4ac\), को विविक्तकर (discriminant) कहते हैं। यदि \(\Delta > 0\) हो तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं; यदि \(\Delta = 0\) हो तो एक ही दोहराया हुआ मूल होता है; और यदि \(\Delta < 0\) हो तो त्रिपद का कोई वास्तविक गुणनखंड नहीं होता (यह केवल सम्मिश्र संख्याओं में ही गुणनखंडित होता है)। मूल पता चलते ही त्रिपद इस रूप में गुणनखंडित हो जाता है: $$\begin{gathered} \text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c} = \text{a}\,(x - x_1)(x - x_2) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-\text{b} \pm \sqrt{D}}{2\,\text{a}} \\ D &= \text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

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विविक्तकर \(b^{2}-4ac\) मूलों की संख्या और प्रकार निर्धारित करता है।

त्रिपद ax²+bx+c अपने दो मूलों से a(x−r₁)(x−r₂) में गुणनखंडित होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

x² − 5x + 6 का गुणनखंड कीजिए। यहाँ \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) है। विविक्तकर $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ होगा। मूल हैं \((5 \pm 1)/2\), यानी \(r_1 = 3\) और \(r_2 = 2\)। इसलिए $$x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि a = 0 हो तो क्या होगा? तब यह द्विघात नहीं रह जाता और इसे त्रिपद के रूप में गुणनखंडित नहीं किया जा सकता; कैलकुलेटर बताता है कि कोई वास्तविक गुणनखंड नहीं है।

ऋणात्मक विविक्तकर का क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि त्रिपद के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, इसलिए इसे वास्तविक संख्याओं से गुणनखंडित नहीं किया जा सकता — केवल सम्मिश्र गुणनखंड ही मौजूद होते हैं।

क्या मूल भिन्न या दशमलव हो सकते हैं? हाँ। कैलकुलेटर मूल को कई दशमलव स्थानों तक दिखाता है, जो किसी सटीक भिन्न को भी दर्शा सकते हैं।