सार्व गुणनखंड क्या होता है?
दो पूर्ण संख्याओं का सार्व गुणनखंड (जिसे उभयनिष्ठ भाजक भी कहते हैं) वह संख्या होती है जो दोनों को पूरी तरह विभाजित कर दे और कोई शेष न बचे। उदाहरण के लिए, 6 संख्या 12 और 18 दोनों को पूरा-पूरा बाँट देता है, इसलिए 6, 12 और 18 का सार्व गुणनखंड है। हर धनात्मक पूर्णांक जोड़े में कम-से-कम एक सार्व गुणनखंड ज़रूर होता है — संख्या 1। यह कैलकुलेटर किन्हीं भी दो संख्याओं के सभी सार्व गुणनखंडों की पूरी सूची, साथ ही महत्तम समापवर्तक (GCF) निकाल देता है।
कैलकुलेटर कैसे इस्तेमाल करें
a और b नाम के खानों में अपनी दो पूर्ण संख्याएँ भरें और परिणाम देखें। ऊपर वाला बॉक्स हर सार्व गुणनखंड को क्रम में दिखाता है; नीचे दी गई तालिका बताती है कि कुल कितने गुणनखंड हैं और महत्तम समापवर्तक (GCF) को उजागर करती है — यानी सूची की सबसे बड़ी संख्या। यह उपकरण किसी भी धनात्मक पूर्णांक के लिए काम करता है और भिन्नों को सरल करने, गुणनखंडन तथा संख्या-सिद्धांत के होमवर्क में बेहद काम आता है।
सूत्र को समझें
कैलकुलेटर 1 से लेकर दोनों में से छोटी संख्या तक हर पूर्णांक \(d\) की जाँच करता है। \(d\) तभी सार्व गुणनखंड माना जाता है जब \(a \bmod d = 0\) और \(b \bmod d = 0\) दोनों सही हों — यानी किसी भी भाग में शेष न बचे। ऐसे सभी मान मिलाकर सार्व गुणनखंडों का समूह बनता है, और इनमें सबसे बड़ा मान ही GCF होता है।
$$\text{Common factors} = \{\, d : a \bmod d = 0 \;\text{and}\; b \bmod d = 0 \,\}$$
$$\text{GCF}(a,b) = \max\{\, d : a \bmod d = 0,\; b \bmod d = 0 \,\}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 12\) और \(b = 18\)। 12 के भाजक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 12; और 18 के भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18। जो मान दोनों सूचियों में आते हैं वे हैं 1, 2, 3, 6। इस तरह कुल 4 सार्व गुणनखंड हैं, और महत्तम समापवर्तक 6 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या दो संख्याओं में हमेशा कोई सार्व गुणनखंड होता है? हाँ — हर धनात्मक पूर्णांक जोड़े में 1 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड होता ही है। अगर 1 ही उनका एकमात्र सार्व गुणनखंड हो, तो वे संख्याएँ सहअभाज्य (coprime) कहलाती हैं।
सार्व गुणनखंड और GCF में क्या अंतर है? सार्व गुणनखंड वे सभी भाजक हैं जो दोनों संख्याओं में उभयनिष्ठ हैं; जबकि GCF उनमें से बस सबसे बड़ा वाला होता है।
क्या मैं ऋणात्मक संख्याएँ या शून्य इस्तेमाल कर सकता हूँ? यह उपकरण धनात्मक पूर्ण संख्याओं पर काम करता है। ऋणात्मक इनपुट को उसके निरपेक्ष मान (absolute value) के रूप में लिया जाता है, और 1 से कम मान को 1 तक सीमित कर दिया जाता है।
