सार्व गुणज क्या होता है?
दो पूर्ण संख्याओं का सार्व गुणज (common multiple) वह संख्या होती है जो दोनों संख्याओं से पूरी-पूरी विभाजित हो जाए। उदाहरण के लिए, 12, संख्या 4 और 6 का एक सार्व गुणज है क्योंकि \(4 \times 3 = 12\) और \(6 \times 2 = 12\) होता है। चूँकि हर संख्या के अनंत गुणज होते हैं, इसलिए किन्हीं दो संख्याओं के भी अनंत सार्व गुणज होते हैं — लेकिन ये सभी एक ही मूल मान पर आधारित एक सरल पैटर्न का पालन करते हैं: लघुत्तम समापवर्त्य यानी LCM।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी दोनों संख्याएँ दर्ज करें, चुनें कि आप कितने सार्व गुणज देखना चाहते हैं, और कैलकुलेटर आपको LCM, महत्तम समापवर्तक (GCD) तथा पहले साझा गुणजों की क्रमबद्ध सूची दे देगा। चूँकि हर सार्व गुणज दरअसल LCM का ही गुणज होता है, इसलिए यह सूची बस LCM, 2×LCM, 3×LCM, और इसी तरह आगे बढ़ती जाती है।
सूत्र की पूरी समझ
सार्व गुणज तक पहुँचने का सबसे तेज़ रास्ता LCM से होकर जाता है। LCM को GCD की मदद से निकाला जाता है: $$\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$$ GCD को यूक्लिड एल्गोरिथ्म से निकाला जाता है (बड़ी संख्या को बार-बार उस शेषफल से बदलते जाएँ जो उसे छोटी संख्या से भाग देने पर मिलता है)। एक बार LCM मिल जाने पर, हर सार्व गुणज \(k \times \operatorname{lcm}\) के रूप में होता है, जहाँ \(k = 1, 2, 3, \ldots\)
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 4\) और \(b = 6\) हैं। इनका GCD 2 है, इसलिए $$\operatorname{lcm} = \frac{4 \times 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ होगा। इस प्रकार पहले पाँच सार्व गुणज हैं 12, 24, 36, 48 और 60 — और इनमें से हर एक 4 और 6 दोनों से विभाजित हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या कोई सबसे बड़ा सार्व गुणज होता है? नहीं। क्योंकि आप LCM को लगातार गुणा करते जा सकते हैं, इसलिए सार्व गुणज अनंत तक चलते रहते हैं। केवल एक सबसे छोटा सार्व गुणज होता है, जिसे LCM कहते हैं।
अगर दोनों संख्याएँ एक समान हों तो? तब LCM उसी संख्या के बराबर होगा, और सार्व गुणज उसी संख्या के सामान्य गुणज ही होंगे।
अगर एक संख्या 1 हो तो? तब दूसरी संख्या का हर गुणज एक सार्व गुणज बन जाता है, क्योंकि 1 से हर संख्या विभाजित हो जाती है।
