¿Qué es un múltiplo común?
Un múltiplo común de dos números enteros es un número que ambos dividen de forma exacta. Por ejemplo, 12 es un múltiplo común de 4 y 6, porque \(4 \times 3 = 12\) y \(6 \times 2 = 12\). Como todo número tiene infinitos múltiplos, dos números comparten infinitos múltiplos comunes, pero todos siguen un patrón muy sencillo construido a partir de un único valor: el mínimo común múltiplo (m.c.m.).
Cómo usar esta calculadora
Introduce tus dos números, elige cuántos múltiplos comunes quieres ver y la calculadora te devuelve el m.c.m., el máximo común divisor (m.c.d.) y una lista ordenada de los primeros múltiplos compartidos. Como cada múltiplo común es un múltiplo del m.c.m., la lista es simplemente m.c.m., 2×m.c.m., 3×m.c.m., y así sucesivamente.
La fórmula explicada
La vía más rápida para hallar los múltiplos comunes pasa por el m.c.m., que se obtiene a partir del m.c.d.:
$$\operatorname{lcm}(\text{a},\, \text{b}) = \frac{\text{a} \times \text{b}}{\gcd(\text{a},\, \text{b})}$$El m.c.d. se calcula con el algoritmo de Euclides (sustituir repetidamente el número mayor por el resto de dividirlo entre el menor). Una vez que tienes el m.c.m., cada múltiplo común es \(k \times \operatorname{lcm}\) para \(k = 1, 2, 3, \ldots\)
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 4\) y \(b = 6\). Su m.c.d. es 2, así que
$$\operatorname{lcm} = \frac{4 \times 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$$Por tanto, los cinco primeros múltiplos comunes son 12, 24, 36, 48 y 60, cada uno divisible tanto por 4 como por 6.
Preguntas frecuentes
¿Existe un múltiplo común máximo? No. Como puedes seguir multiplicando el m.c.m. indefinidamente, los múltiplos comunes no se acaban nunca. Solo existe el más pequeño, que es el m.c.m.
¿Qué pasa si los dos números son iguales? Entonces el m.c.m. coincide con ese número, y los múltiplos comunes son simplemente sus múltiplos habituales.
¿Y si uno de los números es 1? En ese caso, todo múltiplo del otro número es un múltiplo común, ya que el 1 divide a cualquier número.
