ما هو المضاعف المشترك؟
المضاعف المشترك لعددين صحيحين هو عدد يقبل القسمة على كليهما دون باقٍ. فمثلًا، العدد 12 مضاعف مشترك للعددين 4 و6، لأن \(4 \times 3 = 12\) و\(6 \times 2 = 12\). وبما أن لكل عدد عددًا لا نهائيًا من المضاعفات، فإن أي عددين يشتركان في عدد لا نهائي من المضاعفات المشتركة — لكنها جميعًا تتبع نمطًا بسيطًا يقوم على قيمة واحدة هي المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العددين، ثم اختر عدد المضاعفات المشتركة التي ترغب في رؤيتها، وستعرض لك الحاسبة المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، والقاسم المشترك الأكبر (GCD)، وقائمة مرتبة بأولى المضاعفات المشتركة. وبما أن كل مضاعف مشترك هو في الأصل مضاعف للـ LCM، فإن القائمة ببساطة هي: LCM، و2×LCM، و3×LCM، وهكذا.
شرح القانون
أسرع طريق للوصول إلى المضاعفات المشتركة يمرّ عبر المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ويُحسب الـ LCM انطلاقًا من القاسم المشترك الأكبر (GCD) عبر العلاقة: $$\operatorname{lcm}(a,\, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a,\, b)}$$. أما الـ GCD فيُحسب بخوارزمية إقليدس (نستبدل العدد الأكبر مرارًا بباقي قسمته على العدد الأصغر). وبمجرد معرفة الـ LCM، يصبح كل مضاعف مشترك على الصورة \(k \times \operatorname{lcm}\) حيث \(k = 1, 2, 3, \ldots\)
مثال محلول
لنأخذ \(a = 4\) و\(b = 6\). القاسم المشترك الأكبر بينهما هو 2، وبالتالي $$\operatorname{lcm} = \frac{4 \times 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ وعليه تكون أولى خمسة مضاعفات مشتركة هي 12 و24 و36 و48 و60 — وكلٌّ منها يقبل القسمة على 4 وعلى 6 معًا.
الأسئلة الشائعة
هل يوجد أكبر مضاعف مشترك؟ لا. فبما أنه يمكنك مواصلة ضرب الـ LCM إلى ما لا نهاية، تستمر المضاعفات المشتركة بلا توقف. لا يوجد سوى أصغر مضاعف مشترك، وهو الـ LCM.
ماذا لو كان العددان متساويين؟ عندئذٍ يساوي الـ LCM ذلك العدد نفسه، وتكون المضاعفات المشتركة هي ببساطة مضاعفاته العادية.
ماذا لو كان أحد العددين هو 1؟ حينها يصبح كل مضاعف للعدد الآخر مضاعفًا مشتركًا، لأن العدد 1 يقسم كل الأعداد.
