ما هو الأساس (الفرق المشترك)؟
في المتتالية الحسابية، يزداد كل حد (أو ينقص) بمقدار ثابت لا يتغيّر. هذا المقدار الثابت يُسمّى الأساس أو الفرق المشترك، ويُرمز له بالحرف \(d\). فمثلاً في المتتالية 3، 7، 11، 15، … يكون الأساس مساوياً 4، لأن كل حد يزيد عن سابقه بمقدار 4.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الحد الأول (\(a_1\))، وأي حد لاحق (\(a_n\))، وموقع ذلك الحد اللاحق (\(n\)). تُرجع الحاسبة قيمة الأساس إضافةً إلى الحد الثاني، حتى تتمكّن من متابعة المتتالية بسرعة. لاحظ أن الموقع \(n\) يجب أن يكون 2 على الأقل، لأن الفرق يتوزّع على \((n - 1)\) من الخطوات.
شرح القانون
إذا كان الحدّان متجاورين، فإن الأساس هو ببساطة الفرق بينهما: $$d = a_{n+1} - a_n$$ أما إذا كنت تعرف الحد الأول وحدّاً آخر أبعد في المتتالية، فإن مجموع التغيّر من \(a_1\) إلى \(a_n\) يحدث عبر \((n - 1)\) خطوة متساوية، ومن ثَمّ:
$$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$$
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\)، وأن الحد العاشر هو \(a_{10} = 20\)، أي أن \(n = 10\). عندئذٍ $$d = \frac{20 - 2}{10 - 1} = \frac{18}{9} = 2$$ ويكون الحد الثاني \(a_2 = 2 + 2 = 4\)، وهو ما يؤكّد المتتالية 2، 4، 6، 8، …، 20.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون الأساس سالباً؟ نعم. فالمتتالية المتناقصة مثل 10، 7، 4، 1 يكون أساسها \(d = -3\).
هل يمكن أن يكون عدداً عشرياً أو كسراً؟ بالتأكيد، فالأساس \(d\) قد يكون أي عدد حقيقي، مثل 0.5 أو 2.25.
وماذا لو كان \(d = 0\)؟ عندها تتساوى جميع الحدود (متتالية ثابتة)، وهي تبقى مع ذلك متتالية حسابية صحيحة.
