نتائج

التقاطع مع المحور الصادي

(0, ٢)

النقطة التي يقطع عندها المنحنى المحور الصادي

عدد نقاط التقاطع الحقيقية مع المحور السيني	٢
يوجد جذور حقيقية (1 = نعم، 0 = لا)	١
نقطة التقاطع الأولى مع المحور السيني	(١, 0)
نقطة التقاطع الثانية مع المحور السيني	(٢, 0)
المُميِّز (b² − 4ac)	١

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحلّل هذه الأداة الدالة التربيعية المكتوبة بالصيغة القياسية $y = ax^2 + bx + c$. وتعطيك نقطة التقاطع مع المحور الصادي (حيث يقطع القطع المكافئ المحور الرأسي) ونقاط التقاطع مع المحور السيني (حيث يقطع المحور الأفقي، وتُسمّى أيضًا الجذور أو الأصفار). كما تعرض قيمة المُميِّز وتبيّن ما إذا كانت هناك نقاط تقاطع حقيقية مع المحور السيني.

كيفية الاستخدام

أدخِل المعاملات الثلاثة a وb وc من معادلتك. على سبيل المثال، في المعادلة $y = x^2 - 3x + 2$، تُدخِل $a = 1$ و$b = -3$ و$c = 2$. ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك نقاط التقاطع. وإذا كانت $a = 0$ فإن المعادلة تصبح خطية، وتتولّى الأداة عندئذٍ حل حالة الجذر الواحد.

شرح القانون

نقطة التقاطع مع المحور الصادي هي ببساطة $f(0)$. فبتعويض $x = 0$ لا يتبقّى سوى الحد الثابت، ولذلك تكون نقطة التقاطع الصادي دائمًا $c$ — أي النقطة $(0, c)$. أما نقاط التقاطع مع المحور السيني فتُستخرج من القانون العام للدالة التربيعية. والجزء الأساسي هنا هو المُميِّز $D = b^2 - 4ac$. فعندما يكون $D > 0$ يوجد جذران حقيقيان مختلفان؛ وعندما يكون $D = 0$ يوجد جذر واحد فقط (جذر مكرّر، حيث يلامس القطع المكافئ المحور)؛ وعندما يكون $D < 0$ لا توجد نقاط تقاطع حقيقية مع المحور السيني لأن القطع المكافئ لا يقطعه أبدًا.

$$\begin{gathered} x = -\frac{b}{2\,a} \qquad y = c \\[1.2em] x\text{-intercepts:}\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4\,a\,c}}{2\,a} \end{gathered}$$

ثلاثة قطوع مكافئة توضح جذرين حقيقيين وجذرًا مكررًا وعدم وجود جذور حقيقية — المميِّز b²−4ac يحدد الجذور: الموجب يعطي جذرين، والصفر يعطي جذرًا واحدًا، والسالب لا يعطي جذورًا.

قطع مكافئ يوضح تقاطع المحور y وتقاطعين مع المحور x والرأس ومحور التماثل الرأسي — السمات الرئيسية للدالة التربيعية: نقطة تقاطع المحور y عند c، ونقاط تقاطع المحور x (الجذور)، ومحور التماثل الرأسي المار بالرأس.

مثال محلول

في المعادلة $y = x^2 - 3x + 2$: نقطة التقاطع مع المحور الصادي هي $(0, 2)$. والمُميِّز يساوي $$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1,$$ وهو موجب، فيوجد إذًا جذران حقيقيان: $$x = \frac{3 \pm 1}{2},$$ أي $x = 1$ و$x = 2$. ونقاط التقاطع هي $(1, 0)$ و$(2, 0)$.

الأسئلة الشائعة

لماذا لا يوجد للمعادلة $y = x^2 + 1$ نقاط تقاطع مع المحور السيني؟ لأن مُميِّزها يساوي $0 - 4(1)(1) = -4 < 0$، ولذلك يقع القطع المكافئ بأكمله فوق المحور السيني ولا يقطعه أبدًا.

ما هو محور التماثل؟ هو الخط الرأسي $x = -\frac{b}{2a}$ الذي يمر عبر الرأس ويقع في منتصف المسافة بين نقطتي التقاطع مع المحور السيني.

هل يمكن أن تساوي a صفرًا؟ إذا كانت $a = 0$ فلن تعود الدالة تربيعية بل خطية؛ ومع ذلك تظل الحاسبة قادرة على حل المعادلة $bx + c = 0$ لإيجاد نقطة تقاطعها الوحيدة.

الآلات الحاسبة ذات الصلة