이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 표준형 \(y = ax^2 + bx + c\)로 표현된 이차함수를 분석합니다. y절편(포물선이 세로축과 만나는 점)과 x절편(가로축과 만나는 점, 즉 근 또는 영점이라고도 부르는 값)을 함께 알려줍니다. 또한 판별식 값을 계산해 실근으로서의 x절편이 존재하는지 여부까지 보여줍니다.
사용 방법
방정식의 세 계수 a, b, c를 입력하면 됩니다. 예를 들어 \(y = x^2 - 3x + 2\)라면 \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 절편이 표시됩니다. 만약 \(a = 0\)이라면 이 식은 일차함수가 되며, 이 경우 계산기는 근이 하나뿐인 일차식 풀이로 자동 전환합니다.
공식 이해하기
y절편은 간단히 \(f(0)\)입니다. \(x = 0\)을 대입하면 상수항만 남기 때문에 y절편은 언제나 \(c\), 즉 \((0, c)\)가 됩니다. x절편은 근의 공식에서 구합니다.
$$\begin{gathered} x = -\frac{\text{b}}{2\,\text{a}} \qquad y = \text{c} \\[1.2em] x\text{-intercepts:}\quad x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$여기서 핵심은 판별식 \(D = b^2 - 4ac\)입니다. \(D > 0\)이면 서로 다른 두 실근이 있고, \(D = 0\)이면 실근이 정확히 하나(중근, 포물선이 축에 살짝 닿는 경우)이며, \(D < 0\)이면 포물선이 x축을 전혀 가로지르지 않아 실수 x절편이 존재하지 않습니다.
예제로 풀어보기
\(y = x^2 - 3x + 2\)의 경우 y절편은 \((0, 2)\)입니다. 판별식은 \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\)로 양수이므로 두 개의 실근이 있습니다. \(x = (3 \pm 1) / 2\)를 계산하면 \(x = 1\)과 \(x = 2\)가 나오죠. 따라서 x절편은 \((1, 0)\)과 \((2, 0)\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 \(y = x^2 + 1\)은 x절편이 없나요? 판별식이 \(0 - 4(1)(1) = -4 < 0\)이기 때문입니다. 포물선 전체가 x축 위쪽에 떠 있어 축과 한 번도 만나지 않습니다.
대칭축이란 무엇인가요? 세로선 \(x = -b / (2a)\)를 말합니다. 이 선은 꼭짓점을 지나며 두 x절편의 정확히 가운데를 통과합니다.
a가 0이어도 되나요? \(a = 0\)이면 더 이상 이차함수가 아니라 일차함수가 됩니다. 이 경우에도 계산기는 \(bx + c = 0\)을 풀어 하나뿐인 절편을 구해 줍니다.
