यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल मानक रूप \(y = ax^2 + bx + c\) में लिखे किसी द्विघात फलन का विश्लेषण करता है। यह y-इंटरसेप्ट (वह बिंदु जहाँ परवलय ऊर्ध्वाधर अक्ष को काटता है) और x-इंटरसेप्ट (वह बिंदु जहाँ यह क्षैतिज अक्ष को काटता है, जिन्हें मूल या शून्यक भी कहते हैं) बताता है। साथ ही यह विविक्तकर (discriminant) और यह भी बताता है कि कोई वास्तविक x-इंटरसेप्ट है या नहीं।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने समीकरण से तीनों गुणांक a, b और c भरें। उदाहरण के लिए, \(y = x^2 - 3x + 2\) में आप \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\) दर्ज करेंगे। इंटरसेप्ट देखने के लिए "गणना करें" दबाएँ। यदि \(a = 0\) हो, तो समीकरण रैखिक बन जाता है और टूल उस स्थिति में एकल-मूल वाली समस्या हल कर देता है।
सूत्र की व्याख्या
y-इंटरसेप्ट सीधे \(f(0)\) होता है। \(x = 0\) रखने पर केवल अचर पद बचता है, इसलिए y-इंटरसेप्ट हमेशा c ही होता है — यानी बिंदु \((0, c)\)। x-इंटरसेप्ट द्विघात सूत्र से निकलते हैं।
$$x = -\frac{b}{2a} \qquad y = c$$ $$x\text{-intercepts:}\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$इसका सबसे अहम भाग है विविक्तकर, \(D = b^2 - 4ac\)। जब \(D > 0\) हो तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं; जब \(D = 0\) हो तो ठीक एक मूल होता है (एक पुनरावृत्त मूल, जहाँ परवलय अक्ष को छूता है); और जब \(D < 0\) हो तो कोई वास्तविक x-इंटरसेप्ट नहीं होता क्योंकि परवलय x-अक्ष को कभी नहीं काटता।
हल किया गया उदाहरण
\(y = x^2 - 3x + 2\) के लिए: y-इंटरसेप्ट है \((0, 2)\)। विविक्तकर है \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\), जो धनात्मक है, इसलिए दो वास्तविक मूल हैं: \(x = (3 \pm 1) / 2\), यानी \(x = 1\) और \(x = 2\)। इंटरसेप्ट हैं \((1, 0)\) और \((2, 0)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(y = x^2 + 1\) का कोई x-इंटरसेप्ट क्यों नहीं है? इसका विविक्तकर है \(0 - 4(1)(1) = -4 < 0\), इसलिए परवलय पूरी तरह x-अक्ष के ऊपर रहता है और उसे कभी नहीं काटता।
सममिति का अक्ष (axis of symmetry) क्या है? यह ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = -b / (2a)\) है, जो शीर्ष (vertex) से होकर गुजरती है और दोनों x-इंटरसेप्ट के ठीक बीच में स्थित होती है।
क्या a शून्य हो सकता है? यदि \(a = 0\) हो, तो फलन द्विघात नहीं बल्कि रैखिक बन जाता है; कैलकुलेटर फिर भी \(bx + c = 0\) हल करके उसका एकमात्र इंटरसेप्ट निकाल देता है।
