Ce que fait ce calculateur
Cet outil analyse une fonction du second degré écrite sous sa forme développée, \(y = ax^2 + bx + c\). Il vous donne l'ordonnée à l'origine (le point où la parabole coupe l'axe vertical) ainsi que les abscisses à l'origine (les points où elle coupe l'axe horizontal, appelés aussi racines ou zéros). Il indique également la valeur du discriminant et précise s'il existe ou non des racines réelles.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients a, b et c de votre équation. Par exemple, pour \(y = x^2 - 3x + 2\), vous entrez a = 1, b = −3 et c = 2. Cliquez ensuite sur « Calculer » pour afficher les points d'intersection. Si a = 0, l'équation devient affine (linéaire) et l'outil résout alors le cas à une seule racine.
La formule expliquée
L'ordonnée à l'origine correspond simplement à \(f(0)\). En remplaçant x par 0, il ne reste que le terme constant : l'ordonnée à l'origine vaut donc toujours c, c'est-à-dire le point \((0, c)\). Les abscisses à l'origine se calculent grâce à la formule de résolution du second degré.
$$\begin{gathered} x = -\frac{\text{b}}{2\,\text{a}} \qquad y = \text{c} \\[1.2em] x\text{-intercepts:}\quad x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}} \end{gathered}$$L'élément déterminant est le discriminant, \(D = b^2 - 4ac\). Lorsque \(D > 0\), il existe deux racines réelles distinctes ; lorsque \(D = 0\), il n'y en a qu'une seule (une racine double, où la parabole effleure l'axe) ; lorsque \(D < 0\), il n'existe aucune racine réelle, car la parabole ne croise jamais l'axe des abscisses.
Exemple détaillé
Pour \(y = x^2 - 3x + 2\) : l'ordonnée à l'origine est \((0, 2)\). Le discriminant vaut $$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1,$$ soit une valeur positive : il y a donc deux racines réelles, $$x = \frac{3 \pm 1}{2},$$ ce qui donne \(x = 1\) et \(x = 2\). Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont \((1, 0)\) et \((2, 0)\).
FAQ
Pourquoi \(y = x^2 + 1\) n'a-t-elle aucune racine réelle ? Son discriminant vaut \(0 - 4(1)(1) = -4 < 0\) : la parabole se situe entièrement au-dessus de l'axe des abscisses et ne le coupe donc jamais.
Qu'est-ce que l'axe de symétrie ? C'est la droite verticale d'équation \(x = -\frac{b}{2a}\). Elle passe par le sommet de la parabole et se trouve à mi-chemin entre les deux racines.
Le coefficient a peut-il être nul ? Si a = 0, la fonction n'est plus du second degré mais affine (linéaire) ; le calculateur résout malgré tout l'équation \(bx + c = 0\) pour trouver son unique racine.
