Калькулятор оси симметрии и пересечений параболы

Введите расчет

a (коэффициент при x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Результатов

Пересечение с осью Y

(0, 2)

точка, где кривая пересекает ось Y

Количество действительных пересечений с осью X	2
Есть действительные корни (1 = да, 0 = нет)	1
Первое пересечение с осью X	(1, 0)
Второе пересечение с осью X	(2, 0)
Дискриминант (b² − 4ac)	1

Что считает этот калькулятор

Инструмент разбирает квадратичную функцию, записанную в стандартном виде \(y = ax^2 + bx + c\). Он находит точку пересечения с осью Y (где парабола пересекает вертикальную ось) и точки пересечения с осью X (где она пересекает горизонтальную ось — это корни, или нули функции). Заодно калькулятор показывает дискриминант и сообщает, есть ли вообще действительные пересечения с осью X.

Как пользоваться

Введите три коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\) из вашего уравнения. Например, для \(y = x^2 - 3x + 2\) нужно указать \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть точки пересечения. Если \(a = 0\), уравнение становится линейным, и калькулятор решает его как уравнение с одним корнем.

Разбор формулы

Пересечение с осью Y — это просто \(f(0)\). Подставив \(x = 0\), мы оставляем только свободный член, поэтому пересечение с осью Y всегда равно \(c\) — это точка \((0, c)\). Пересечения с осью X находятся по формуле корней квадратного уравнения.

$$x = -\frac{b}{2a} \qquad y = c$$ $$x\text{-intercepts:}\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ключевую роль здесь играет дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\) — два различных действительных корня; если \(D = 0\) — ровно один (двойной корень, парабола касается оси); если \(D < 0\) — действительных пересечений с осью X нет, потому что парабола её не пересекает.

Дискриминант \(b^2 - 4ac\) определяет корни: положительный даёт два, ноль — один, отрицательный — ни одного.

Ключевые элементы квадратичной функции: точка пересечения с осью y в точке \(c\), точки пересечения с осью x (корни) и вертикальная ось симметрии через вершину.

Пример с решением

Возьмём \(y = x^2 - 3x + 2\): пересечение с осью Y — точка \((0, 2)\). Дискриминант равен \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\), он положительный, поэтому корней два: \(x = (3 \pm 1) / 2\), то есть \(x = 1\) и \(x = 2\). Точки пересечения — \((1, 0)\) и \((2, 0)\).

Частые вопросы

Почему у \(y = x^2 + 1\) нет пересечений с осью X? Дискриминант равен \(0 - 4(1)(1) = -4 < 0\), поэтому парабола целиком расположена над осью X и никогда её не пересекает.

Что такое ось симметрии? Это вертикальная прямая \(x = -b / (2a)\). Она проходит через вершину параболы и находится ровно посередине между двумя точками пересечения с осью X.

Может ли \(a\) равняться нулю? Если \(a = 0\), функция перестаёт быть квадратичной и становится линейной; калькулятор всё равно решит уравнение \(bx + c = 0\) и найдёт его единственный корень.