二次函數對稱軸與 y 截距計算機

輸入計算

a（x² 的係數）

b（x 的係數）

c（常數項）

結果

y 截距

(0, 2)

曲線與 y 軸的交點

實數 x 截距的個數	2
是否有實數根（1 = 有，0 = 無）	1
第一個 x 截距	(1, 0)
第二個 x 截距	(2, 0)
判別式（b² − 4ac）	1

這個計算機能做什麼

這個工具會分析以標準式 \(y = ax^2 + bx + c\) 表示的二次函數，並算出 y 截距（拋物線與縱軸的交點）以及 x 截距（與橫軸的交點，也就是方程式的根或零點）。同時還會回報判別式的值，並告訴你是否存在實數的 x 截距。

使用方法

把方程式中的三個係數 a、b、c 分別填入欄位。舉例來說，對於 \(y = x^2 - 3x + 2\)，你要輸入 \(a = 1\)、\(b = -3\)、\(c = 2\)。按下計算即可看到各個截距。若 \(a = 0\)，方程式就退化為一次方程式，工具會改用單根的情況來求解。

公式說明

y 截距其實就是 \(f(0)\)。把 \(x = 0\) 代入後只剩下常數項，因此 y 截距永遠等於 c，也就是點 \((0, c)\)。x 截距則由二次公式求得，關鍵在於判別式 \(D = b^2 - 4ac\)。

$$x = -\frac{b}{2a} \qquad y = c$$$$x\text{-intercepts:}\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

當 \(D > 0\) 時，有兩個相異實數根；當 \(D = 0\) 時，恰好只有一個根（重根，此時拋物線與 x 軸相切）；當 \(D < 0\) 時，拋物線完全不與 x 軸相交，因此沒有實數的 x 截距。

判別式 \(b^2 - 4ac\) 決定根的情況：正數有兩個根，零有一個根，負數無根。

二次函數的關鍵特徵：在 c 處的 y 軸截距、x 軸截距（根）以及過頂點的鉛直對稱軸。

範例演練

以 \(y = x^2 - 3x + 2\) 為例：y 截距為 \((0, 2)\)。判別式為 \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\)，結果為正，所以有兩個實數根：\(x = (3 \pm 1) / 2\)，得出 \(x = 1\) 與 \(x = 2\)。因此 x 截距為 \((1, 0)\) 與 \((2, 0)\)。

常見問題

為什麼 \(y = x^2 + 1\) 沒有 x 截距？它的判別式是 \(0 - 4(1)(1) = -4 < 0\)，所以這條拋物線完全位於 x 軸上方，永遠不會與 x 軸相交。

什麼是對稱軸？對稱軸是一條垂直線 \(x = -b / (2a)\)，它通過頂點，並恰好位於兩個 x 截距的正中間。

a 可以等於 0 嗎？如果 \(a = 0\)，這個函數就不再是二次函數，而是一次函數；不過計算機仍會求解 \(bx + c = 0\)，找出它唯一的截距。