垂直平分線方程式計算機

輸入計算

x₁

y₁

x₂

y₂

結果

垂直平分線方程式

y = -1x + 7

以 90° 平分線段的直線

中點 M	(3, 4)
線段斜率 (m)	1
垂直斜率 (mₚ)	-1
y 截距 (b)	7

什麼是垂直平分線（中垂線）？

線段的垂直平分線（又稱中垂線）是一條通過線段中點、並與線段成直角（90°）相交的直線。這條線上的每一個點到兩端點的距離都相等，因此在幾何學中扮演關鍵角色——無論是座標證明、尋找圓心，還是三角形作圖（用來定出外心），都少不了它。

垂直平分線經過中點，與線段成90度角。

如何使用這個計算機

輸入線段兩個端點的座標 \((x_1, y_1)\) 與 \((x_2, y_2)\)，計算機便會回傳中點、原線段斜率、垂直斜率、y 截距，以及以斜截式表示的完整垂直平分線方程式。

公式解析

首先求出中點 \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)；接著計算線段斜率 \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)。垂直斜率為其負倒數 \(m_p = -\dfrac{1}{m}\)。最後，以中點代入點斜式： $$y - m_y = -\frac{1}{m}\left(x - m_x\right)$$ 再整理成 \(y = m_p x + b\)。特殊情況：若線段為垂直線（\(x_1=x_2\)），則中垂線為水平線（\(y = M_y\)）；若線段為水平線（\(y_1=y_2\)），則中垂線為垂直線（\(x = M_x\)）。

平分線的斜率是線段斜率的負倒數。

範例演算

取兩點 \((1, 2)\) 與 \((5, 6)\)。中點 \(= (3, 4)\)。線段斜率 \(= \dfrac{6-2}{5-1} = 1\)。垂直斜率 \(= -1\)。方程式： $$y - 4 = -1(x - 3) \rightarrow y = -x + 7$$ y 截距為 \(7\)。

常見問題

如果兩個點相同會怎樣？單一個點無法構成線段，自然也就沒有唯一的中垂線；請輸入兩個不同的點。

為什麼垂直斜率是負倒數？當兩條直線互相垂直時，它們斜率的乘積為 \(-1\)，因此 \(m_p = -\dfrac{1}{m}\)。

答案有可能是一條垂直線嗎？會的。當線段為水平線時，其中垂線即為垂直線，此時應寫成 \(x = \) 常數，而非 \(y = mx + b\)。