Qu'est-ce qu'une médiatrice ?
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et le coupe à angle droit (90°). Tout point situé sur cette droite est à égale distance des deux extrémités du segment : c'est cette propriété qui la rend indispensable en géométrie, dans les démonstrations en repère, pour déterminer le centre d'un cercle ou pour construire des triangles (elle permet de localiser le centre du cercle circonscrit).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les coordonnées des deux extrémités de votre segment, \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\). Le calculateur vous donne le milieu, la pente du segment d'origine, la pente perpendiculaire, l'ordonnée à l'origine et l'équation complète de la médiatrice sous forme réduite (\(y = mx + b\)).
La formule expliquée
On commence par déterminer le milieu \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). On calcule ensuite la pente du segment \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). La pente perpendiculaire correspond à l'opposé de l'inverse : \(m_\perp = -\dfrac{1}{m}\). Il ne reste plus qu'à utiliser la forme point-pente passant par le milieu : $$y - m_y = -\frac{1}{m}\left(x - m_x\right)$$ puis à réorganiser pour obtenir \(y = m_\perp x + b\). Cas particuliers : si le segment est vertical (\(x_1=x_2\)), la médiatrice est horizontale (\(y = m_y\)) ; s'il est horizontal (\(y_1=y_2\)), la médiatrice est verticale (\(x = m_x\)).
Exemple résolu
Prenons les points \((1, 2)\) et \((5, 6)\). Milieu \(= (3, 4)\). Pente du segment \(= \dfrac{6-2}{5-1} = 1\). Pente perpendiculaire \(= -1\). Équation : $$y - 4 = -1(x - 3) \rightarrow y = -x + 7$$ L'ordonnée à l'origine vaut donc \(7\).
FAQ
Que se passe-t-il si les deux points sont identiques ? Un point unique ne définit pas de segment : il n'existe donc pas de médiatrice unique. Saisissez deux points distincts.
Pourquoi la pente perpendiculaire est-elle l'opposé de l'inverse ? Deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs pentes vaut \(-1\), d'où \(m_\perp = -\dfrac{1}{m}\).
Le résultat peut-il être une droite verticale ? Oui. Lorsque le segment est horizontal, la médiatrice est verticale et s'écrit \(x = \text{constante}\) plutôt que \(y = mx + b\).
