ما هو المنصّف العمودي؟
المنصّف العمودي لقطعة مستقيمة هو المستقيم الذي يمرّ بنقطة منتصف القطعة ويقطعها بزاوية قائمة (90 درجة). كل نقطة تقع على هذا المستقيم تبعد المسافة نفسها عن طرفي القطعة، وهذه الخاصية تجعله أساسيًا في الهندسة وفي البراهين الإحداثية وفي إيجاد مراكز الدوائر وإنشاءات المثلثات (إذ يحدّد مركز الدائرة المحيطة بالمثلث).
كيف تستخدم هذه الحاسبة
أدخل إحداثيات نقطتي طرفي القطعة، أي \((x_1, y_1)\) و\((x_2, y_2)\). تُرجِع لك الحاسبة نقطة المنتصف، وميل القطعة الأصلية، والميل العمودي، والمقطع الصادي (y-intercept)، والمعادلة الكاملة للمنصّف العمودي في صيغة الميل والمقطع.
شرح القانون
أولًا أوجد نقطة المنتصف \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\). ثم احسب ميل القطعة \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). الميل العمودي هو المقلوب السالب \(m_p = -\frac{1}{m}\). وأخيرًا استخدم صيغة النقطة والميل عبر نقطة المنتصف:
$$y - m_y = -\frac{1}{m}\left(x - m_x\right)$$حيث
$$\left\{ \begin{aligned} m_x &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ m_y &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \\ m &= \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{aligned} \right.$$ثم أعد ترتيبها لتصل إلى \(y = m_p x + b\). حالات خاصة: إذا كانت القطعة رأسية (\(x_1=x_2\)) فإن المنصّف يكون أفقيًا (\(y = M_y\))؛ وإذا كانت القطعة أفقية (\(y_1=y_2\)) فإن المنصّف يكون رأسيًا (\(x = M_x\)).
مثال محلول
النقطتان \((1, 2)\) و\((5, 6)\). نقطة المنتصف \(= (3, 4)\). ميل القطعة \(= \frac{6-2}{5-1} = 1\). الميل العمودي \(= -1\). المعادلة: \(y - 4 = -1(x - 3) \rightarrow y = -x + 7\). المقطع الصادي يساوي \(7\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت النقطتان متطابقتين؟ النقطة الواحدة لا تُعرّف قطعة مستقيمة، لذلك لا يوجد منصّف وحيد؛ أدخل نقطتين مختلفتين.
لماذا يكون الميل العمودي هو المقلوب السالب؟ يتعامد مستقيمان عندما يكون حاصل ضرب ميليهما يساوي \(-1\)، ومن ثمّ \(m_p = -\frac{1}{m}\).
هل يمكن أن تكون النتيجة مستقيمًا رأسيًا؟ نعم. عندما تكون القطعة أفقية، يكون المنصّف رأسيًا ويُكتب على صورة \(x = \text{ثابت}\) بدلًا من \(y = mx + b\).
