수직이등분선이란?
선분의 수직이등분선이란 그 선분의 중점을 지나면서 선분과 직각(90°)으로 만나는 직선을 말합니다. 이 직선 위의 모든 점은 선분의 두 끝점으로부터 같은 거리에 있는데, 바로 이 성질 때문에 기하학, 좌표 증명, 원의 중심 찾기, 삼각형 작도(외심을 찾을 때) 등에서 핵심적으로 쓰입니다.
계산기 사용 방법
선분의 두 끝점 좌표 \((x_1, y_1)\)과 \((x_2, y_2)\)을 입력하세요. 계산기가 중점, 원래 선분의 기울기, 수직 기울기, y절편, 그리고 기울기-절편 형태로 정리된 수직이등분선의 완전한 방정식을 한 번에 보여 줍니다.
공식 풀이
먼저 중점 \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)을 구합니다. 다음으로 선분의 기울기 \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)을 계산합니다. 수직 기울기는 음의 역수, 즉 \(m_p = -\dfrac{1}{m}\) 입니다. 마지막으로 중점을 지나는 점-기울기 형태
$$y - M_y = m_p\left(x - M_x\right)$$를 세운 뒤 \(y = m_p x + b\) 꼴로 정리하면 됩니다. 특수한 경우도 있습니다. 선분이 수직(\(x_1=x_2\))이면 이등분선은 수평선(\(y = M_y\))이 되고, 선분이 수평(\(y_1=y_2\))이면 이등분선은 수직선(\(x = M_x\))이 됩니다.
예제 풀이
점 \((1, 2)\)과 \((5, 6)\)을 봅시다. 중점 \(= (3, 4)\). 선분 기울기 \(= \dfrac{6-2}{5-1} = 1\). 수직 기울기 \(= -1\). 방정식:
$$y - 4 = -1(x - 3) \;\rightarrow\; y = -x + 7$$따라서 y절편은 7입니다.
자주 묻는 질문
두 점이 같으면 어떻게 되나요? 점 하나로는 선분이 정의되지 않으므로 유일한 이등분선도 존재하지 않습니다. 서로 다른 두 점을 입력하세요.
왜 수직 기울기가 음의 역수인가요? 두 직선이 수직일 때는 기울기의 곱이 −1이 되기 때문입니다. 그래서 \(m_p = -\dfrac{1}{m}\) 입니다.
답이 수직선이 될 수도 있나요? 네. 선분이 수평선일 때는 이등분선이 수직선이 되며, 이 경우 \(y = mx + b\)가 아니라 \(x = \text{상수}\) 형태로 나타냅니다.
