이차함수 분석기 계산기

계산 입력

a (x²의 계수)

b (x의 계수)

c (상수항)

결과

꼭짓점

(1.5, -0.25)

Axis of symmetry: x = 1.5

대칭축	x = 1.5
판별식 (b² − 4ac)	1
실근의 개수	2
근 1	x = 2
근 2	x = 1
y절편	(0, 2)

이 계산기로 할 수 있는 일

이차함수 분석기는 표준형 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 로 표현된 이차함수를 입력하면 그래프(포물선)의 모든 정보를 한눈에 보여 줍니다. 꼭짓점, 대칭축, 판별식, 실근(x절편), y절편을 즉시 계산하죠. 중·고등학교 대수와 미적분 준비 과정은 물론, 물리의 포물선 운동 문제나 최댓값·최솟값(최적화) 문제까지 두루 활용할 수 있는 만능 수학 도구입니다.

이차함수의 주요 요소: 꼭짓점, 대칭축, 근, y절편.

사용 방법

세 개의 계수 a, b, c 를 입력하세요. 진짜 이차함수가 되려면 a 는 반드시 0이 아니어야 합니다(a = 0 이면 일차식이 됩니다). 계산 버튼을 누르면 포물선의 핵심 정보를 한 화면에서 모두 확인할 수 있습니다.

공식 풀이

대칭축과 꼭짓점은 같은 x값을 공유합니다. 바로 \(x = -b / (2a)\) 이죠. 이 x값을 함수에 다시 대입하면 꼭짓점의 y값이 나옵니다. 근은 근의 공식 으로 구합니다.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

루트 안의 값인 \(b^2 - 4ac\) 가 바로 판별식입니다. 판별식이 양수이면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근(한 개의 근), 음수이면 실근이 없습니다(포물선이 x축과 만나지 않음). y절편은 \(f(0) = c\) 이므로 간단히 \(c\) 입니다.

판별식은 실근이 두 개, 한 개, 또는 없는지를 결정한다.

예제로 보는 계산

\(f(x) = x^2 - 3x + 2\) (a = 1, b = −3, c = 2) 인 경우를 살펴봅시다. 대칭축은 \(x = -(-3)/(2\cdot 1) = 1.5\), 꼭짓점의 y값은 \(1.5^2 - 3(1.5) + 2 = -0.25\) 이므로 꼭짓점은 (1.5, −0.25) 입니다. 판별식은 \(9 - 8 = 1\) 이고, 근은 \(x = (3 \pm 1)/2\) 즉 2와 1 입니다. y절편은 (0, 2) 입니다.

자주 묻는 질문

a = 0 이면 어떻게 되나요? 식이 일차식(bx + c)이 되어 근은 최대 한 개뿐이며, 포물선이나 꼭짓점도 존재하지 않습니다.

판별식이 음수이면 무슨 의미인가요? 포물선이 x축에 닿지 않는다는 뜻입니다. 따라서 실근은 없고 허근(복소수 근)만 존재합니다.

꼭짓점의 x값은 항상 대칭축과 같나요? 네, 그렇습니다. 대칭축은 꼭짓점을 지나는 수직선 \(x = -b/(2a)\) 이기 때문입니다.