Công cụ này làm gì
Công cụ Phân Tích Hàm Số Bậc Hai nhận vào một hàm bậc hai ở dạng tổng quát f(x) = ax² + bx + c và lập tức trả về toàn bộ đặc điểm của nó: tọa độ đỉnh, trục đối xứng, biệt thức, các nghiệm thực (giao điểm với trục hoành) và giao điểm với trục tung. Đây là một công cụ toán học vạn năng, phù hợp khi khảo sát parabol trong đại số, giải tích, các bài toán chuyển động ném trong vật lý cũng như các bài toán tối ưu.
Cách sử dụng
Nhập ba hệ số a, b và c. Hệ số a phải khác 0 thì hàm mới thực sự là bậc hai (nếu a = 0 thì phương trình trở thành bậc nhất). Nhấn nút tính toán và xem toàn bộ thông tin quan trọng của parabol trong một màn hình duy nhất.
Giải thích các công thức
Trục đối xứng và đỉnh có cùng hoành độ: \(x = -b / (2a)\). Thay giá trị x này vào hàm số để tìm tung độ của đỉnh. Các nghiệm được tính theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$Biểu thức nằm dưới dấu căn, \(b^{2} - 4ac\), chính là biệt thức (delta): nếu lớn hơn 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, nếu bằng 0 thì có nghiệm kép, còn nếu nhỏ hơn 0 thì không có nghiệm thực (parabol không cắt trục hoành). Giao điểm với trục tung đơn giản là c, vì \(f(0) = c\).
Ví dụ minh họa
Với \(f(x) = x^{2} - 3x + 2\) (a = 1, b = −3, c = 2): trục đối xứng \(x = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1{,}5\); tung độ đỉnh \(y = 1{,}5^{2} - 3(1{,}5) + 2 = -0{,}25\), nên đỉnh là (1,5; −0,25). Biệt thức \(= 9 - 8 = 1\), suy ra các nghiệm \(x = (3 \pm 1)/2 = 2\) và 1. Giao điểm với trục tung là (0; 2).
Câu hỏi thường gặp
Nếu a = 0 thì sao? Biểu thức trở thành hàm bậc nhất (bx + c) và có nhiều nhất một nghiệm; lúc này không còn parabol hay đỉnh.
Biệt thức âm có ý nghĩa gì? Parabol không chạm vào trục hoành, nên phương trình không có nghiệm thực — chỉ có nghiệm phức.
Hoành độ đỉnh có luôn bằng trục đối xứng không? Có. Trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, \(x = -b/(2a)\).
