यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह द्विघात फलन विश्लेषक किसी भी मानक रूप के द्विघात \(f(x) = ax^2 + bx + c\) को लेकर पल भर में उसका पूरा ब्योरा देता है: शीर्ष, सममिति अक्ष, विविक्तकर (discriminant), वास्तविक मूल (x-अंतःखंड) और y-अंतःखंड। यह एक सार्वभौमिक गणित उपकरण है जो बीजगणित, प्री-कैलकुलस, भौतिकी के प्रक्षेप्य (projectile) सवालों और अनुकूलन (optimization) से जुड़े परवलयों पर समान रूप से काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों गुणांक a, b और c दर्ज करें। सच्चे द्विघात के लिए गुणांक a का शून्येतर (nonzero) होना ज़रूरी है (यदि a = 0 हो तो समीकरण रैखिक बन जाता है)। 'कैलकुलेट' दबाएँ और परवलय की हर अहम विशेषता एक ही नज़र में देख लें।
सूत्रों की व्याख्या
सममिति अक्ष और शीर्ष का x-मान एक ही होता है: \(x = -b / (2a)\)। इस x को फलन में वापस रखकर शीर्ष का y-मान निकल आता है। मूल द्विघात सूत्र से आते हैं,
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$मूल के नीचे की राशि, \(b^2 - 4ac\), विविक्तकर कहलाती है: यदि यह धनात्मक है तो दो वास्तविक मूल होते हैं, यदि शून्य है तो एक दोहराया हुआ मूल होता है, और यदि ऋणात्मक है तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता (परवलय x-अक्ष को कभी नहीं काटता)। y-अंतःखंड सीधे \(c\) ही होता है, क्योंकि \(f(0) = c\)।
हल किया हुआ उदाहरण
\(f(x) = x^2 - 3x + 2\) (\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)) के लिए: अक्ष
$$x = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = 1.5$$शीर्ष
$$y = 1.5^2 - 3(1.5) + 2 = -0.25$$यानी शीर्ष है \((1.5, -0.25)\)। विविक्तकर \(= 9 - 8 = 1\), जिससे मूल मिलते हैं
$$x = \frac{3 \pm 1}{2} = 2 \text{ और } 1$$y-अंतःखंड है \((0, 2)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि a = 0 हो तो क्या होगा? तब व्यंजक रैखिक (\(bx + c\)) बन जाता है और इसका अधिकतम एक ही मूल होता है; कोई परवलय या शीर्ष नहीं होता।
ऋणात्मक विविक्तकर का क्या मतलब है? परवलय x-अक्ष को नहीं छूता, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं होते — केवल सम्मिश्र (complex) मूल होते हैं।
क्या शीर्ष का x हमेशा सममिति अक्ष के बराबर होता है? हाँ। सममिति अक्ष शीर्ष से होकर गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा है, \(x = -b/(2a)\)।
