二次函數分析器

輸入計算

a（x² 的係數）

b（x 的係數）

c（常數項）

結果

頂點

(1.5, -0.25)

Axis of symmetry: x = 1.5

對稱軸	x = 1.5
判別式（b² − 4ac）	1
實根個數	2
根 1	x = 2
根 2	x = 1
y 截距	(0, 2)

這個計算器能做什麼

這款二次函數分析器只要輸入標準式 f(x) = ax² + bx + c，就能立刻幫你算出完整的拋物線資訊：頂點、對稱軸、判別式、實根（x 截距）以及 y 截距。不論是代數、高中數學、微積分先修課程，還是物理拋體運動與最佳化問題，都能派上用場。

二次函數的關鍵要素：頂點、對稱軸、根和 y 軸截距。

使用方法

依序填入三個係數 a、b 與 c。其中係數 a 必須不為零，才是真正的二次函數（若 a = 0，方程式就會退化成一次方程式）。按下計算，即可在同一畫面看到拋物線的所有關鍵特徵。

公式說明

對稱軸與頂點擁有相同的 x 值：\(x = -b / (2a)\)。把這個 x 代回函數，就能求出頂點的 y 值。各個根則來自二次公式

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

根號內的量 \(b^{2} - 4ac\) 稱為判別式：若為正，代表有兩個相異實根；若為零，代表有一個重根；若為負，則沒有實根（拋物線不會與 x 軸相交）。至於 y 截距，因為 \(f(0) = c\)，所以直接就是 \(c\)。

判別式決定有兩個、一個還是沒有實根。

範例演練

以 f(x) = x² − 3x + 2（a = 1、b = −3、c = 2）為例：對稱軸 \(x = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5\)；頂點 \(y = 1.5^{2} - 3(1.5) + 2 = -0.25\)，因此頂點為 (1.5, −0.25)。判別式 \(= 9 - 8 = 1\)，求得根 \(x = (3 \pm 1)/2\)，即 2 與 1。y 截距為 (0, 2)。

常見問題

如果 a = 0 會怎樣？此時算式變成一次式（bx + c），最多只有一個根，不存在拋物線，也沒有頂點。

判別式為負代表什麼？表示拋物線完全不接觸 x 軸，因此沒有實根，只有複數根。

頂點的 x 值一定等於對稱軸嗎？是的。對稱軸就是通過頂點的那條鉛直線，也就是 \(x = -b/(2a)\)。