二次迴歸計算器

A（常數項）	2
B（一次項係數）	-2
C（二次項係數）	1
相關係數 r	1
資料點數 (n)	5

什麼是二次迴歸？

二次迴歸是把形如 $y = A + B\cdot x + C\cdot x^2$ 的二階多項式，擬合到一組成對的觀測值 (x, y)。與直線不同，拋物線能描繪出資料的彎曲走勢——例如先上升後下降，或呈加速成長——因此廣泛應用於物理學（拋體運動）、經濟學（成本曲線），以及任何兩變數之間呈現非線性關係的情境。這是純粹的數學與統計方法，無論在哪個國家、使用哪種單位都完全一致，不涉及任何地區性規則。

資料散佈圖，一條平滑的拋物線穿過這些點 — 二次迴歸用最小平方法將拋物線 $y = A + Bx + Cx^2$ 擬合到散佈資料。

計算器使用方法

在輸入框中填入你的資料點，每行一組，x 與 y 之間以空格或逗號分隔（例如 3, 5）。要解出 A、B、C 三個係數，至少需要三個資料點；點數越多，擬合結果越可靠。接著選擇要顯示的有效位數，即可讀出 A、B、C、組合好的迴歸方程式，以及相關係數 $r$。

公式說明

各係數皆以最小平方法求得。設有 $n$ 個資料點，先計算平均值 $\bar{x}$、$\bar{y}$ 以及平方的平均 $\overline{x^2}$。接著利用原始動差恆等式，組出置中後的各項和 $S_{xx}$、$S_{xy}$、$S_{xx^2}$、$S_{x^2x^2}$ 與 $S_{x^2y}$（例如 $S_{xx} = \Sigma x^2 - n\cdot\bar{x}^2$）。令 $\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^2$，則 $$B = \frac{S_{xy}\cdot S_{x^2x^2} - S_{x^2y}\cdot S_{xx^2}}{\text{denom}}$$ $$C = \frac{S_{x^2y}\cdot S_{xx} - S_{xy}\cdot S_{xx^2}}{\text{denom}}$$ $$A = \bar{y} - B\cdot\bar{x} - C\cdot\overline{x^2}$$ 相關係數 $r$ 則等於 1 減去「殘差平方和對總平方和之比」後再開平方根。

資料點與擬合拋物線之間的垂直距離 — 最小平方法使各點到曲線的垂直距離（殘差）平方和最小。

實例演算

以資料點 (1,1)、(2,2)、(3,5)、(4,10)、(5,17) 為例：$n = 5$，$\bar{x} = 3$，$\bar{y} = 7$，$\overline{x^2} = 11$。由此得 $S_{xx} = 10$，$S_{xy} = 40$，$S_{xx^2} = 60$，$S_{x^2x^2} = 374$，$S_{x^2y} = 254$，$\text{denom} = 140$。進而求得 $B = -2$，$C = 1$，$A = 2$。擬合結果為 $y = 2 - 2x + x^2$，這條曲線恰好通過每一個資料點，因此 $r = 1$。