¿Qué es la regresión cuadrática?
La regresión cuadrática ajusta un polinomio de segundo grado de la forma \(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\) a un conjunto de observaciones emparejadas (x, y). A diferencia de una recta, una parábola puede captar la curvatura — datos que primero suben y luego bajan, o que se aceleran —, por lo que se emplea mucho en física (movimiento de proyectiles), economía (curvas de costes) y en cualquier situación donde la relación entre dos variables se curva. Se trata de matemáticas y estadística puras: el método funciona igual en cualquier lugar y no depende de reglas ni unidades regionales.
Cómo usar la calculadora
Introduce tus puntos de datos en el recuadro, un par por línea, separando la x y la y con un espacio o una coma (por ejemplo, 3, 5). Necesitas al menos tres puntos para determinar los tres coeficientes A, B y C; cuantos más puntos uses, más fiable será el ajuste. Elige cuántas cifras significativas quieres mostrar y luego consulta A, B, C, la ecuación de regresión resultante y el coeficiente de correlación r.
La fórmula explicada
Los coeficientes se obtienen por mínimos cuadrados. Con \(n\) puntos, se calculan las medias \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) y la media de los cuadrados \(\overline{x^2}\). A continuación se forman las sumas centradas \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\) y \(S_{x^2y}\) mediante las identidades de momentos brutos (por ejemplo, \(S_{xx} = \Sigma x^{2} - n\cdot\bar{x}^{2}\)).
$$y = A + Bx + Cx^{2}$$Con \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}\), los coeficientes son:
$$\left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{x^2y}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{x^2y}\,S_{xx} - S_{xy}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$El coeficiente de correlación r es la raíz cuadrada de 1 menos el cociente entre la suma de cuadrados residual y la suma de cuadrados total.
Ejemplo resuelto
Para los puntos (1,1), (2,2), (3,5), (4,10), (5,17): \(n = 5\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 7\), \(\overline{x^2} = 11\). Esto da \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} = 40\), \(S_{xx^2} = 60\), \(S_{x^2x^2} = 374\), \(S_{x^2y} = 254\), \(\text{denom} = 140\). Entonces \(B = -2\), \(C = 1\), \(A = 2\). El ajuste es \(y = 2 - 2x + x^{2}\), que pasa exactamente por todos los puntos, así que \(r = 1\).
Preguntas frecuentes
¿Cuántos puntos necesito? Al menos tres valores de x distintos; con menos, o si todas las x son iguales, el sistema queda degenerado y no se puede resolver.
¿Qué significa r? Como orientación general, \(0{,}7 < |r| \le 1\) es fuerte, \(0{,}4 < |r| < 0{,}7\) moderada, \(0{,}2 < |r| < 0{,}4\) débil y por debajo de 0,2 prácticamente nula. Un valor de 1 indica que la parábola pasa por todos los puntos.
¿Por qué r nunca es negativo aquí? Esta calculadora muestra la raíz no negativa del coeficiente de determinación, de modo que r va de 0 a 1 con independencia de hacia dónde se oriente la curva.
