¿Qué es la regresión exponencial?
La regresión exponencial ajusta una curva de la forma \(y = A\,e^{Bx}\) a un conjunto de pares de datos. Es la herramienta de referencia para modelar magnitudes que crecen o decaen a un ritmo proporcional a su valor actual, como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva, el interés compuesto o los cultivos bacterianos. Esta calculadora es una herramienta puramente matemática y estadística, así que funciona de forma idéntica en cualquier país, sin suposiciones específicas de ninguna región.
Cómo usarla
Introduce tus valores independientes en la casilla Valores de X y tus valores dependientes en la casilla Valores de Y, ambos como números separados por comas. Las dos listas deben tener el mismo número de elementos, necesitas al menos dos puntos y cada valor de Y debe ser estrictamente positivo (el método requiere calcular el logaritmo natural de y). Elige la precisión de visualización y luego lee los coeficientes ajustados A y B, el coeficiente de correlación r y la ecuación ya montada.
La fórmula explicada
Como \(y = A\,e^{Bx}\) no es lineal, la linealizamos tomando logaritmos naturales: \(\ln y = \ln A + B\,x\). Esto no es más que una regresión lineal ordinaria de \(\ln(y)\) frente a \(x\). Usando las sumas centradas \(S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2\), \(S_{yy} = \sum (\ln y - \overline{\ln y})^2\) y \(S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(\ln y - \overline{\ln y})\), la pendiente es $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$ y $$A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\,\bar{x}\right).$$ La correlación $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ está entre \(-1\) y \(1\); valores cuyo valor absoluto supera \(0{,}7\) indican un ajuste fuerte.
Ejemplo resuelto
Para \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) e \(y = [2.7, 7.4, 20.1, 54.6, 148.4]\) (aproximadamente \(e^{x}\)), obtenemos \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} \approx 10.0115\) y \(S_{yy} \approx 10.0231\). Entonces \(B \approx 1.0012\), \(A \approx 0.9956\) y \(r \approx 1.0000\). La curva ajustada $$y \approx 0.9956\,e^{1.0012x}$$ confirma que los datos procedían de \(y = e^{x}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué Y tiene que ser positivo? El método calcula \(\ln(y)\); el logaritmo de cero o de un número negativo no está definido, por lo que se rechazan los valores de Y no positivos.
¿Qué significa que r esté cerca de 1? Significa que el modelo exponencial explica los datos muy bien. Valores cercanos a 0 indican poca o ninguna relación exponencial.
¿Puede x ser negativo? Sí. X puede ser cualquier número real; solo Y está limitado a valores positivos.
