Calculadora para Resolver Inecuaciones de Segundo Grado

Discriminante D = b² − 4ac	9
Raíz alfa	1
Raíz beta	-2
Vértice x = −b/(2a)	-0,5
Vértice y	-2,25
La parábola se abre	Upward (a > 0)

¿Qué es una inecuación de segundo grado?

Una inecuación de segundo grado (también llamada inecuación cuadrática) compara una expresión de grado dos con cero, por ejemplo $\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c} > 0$. Su solución es el conjunto de todos los valores reales de x que hacen verdadera la desigualdad. Como la gráfica de una función cuadrática es una parábola, la solución siempre adopta una de unas pocas formas: dos semirrectas hacia afuera, un único intervalo acotado, todos los números reales, un solo punto o ningún valor. Se trata de matemática pura, así que funciona igual en cualquier país.

Parábola hacia arriba que cruza el eje x en dos raíces, con las regiones por encima y por debajo del eje sombreadas de forma diferente — Una desigualdad cuadrática compara la parábola con cero: la solución depende de dónde la curva está por encima o por debajo del eje x.

Cómo usar esta calculadora

Elige el signo de desigualdad que quieras aplicar a $\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c}$ y, a continuación, introduce los coeficientes a, b y c. El coeficiente a debe ser distinto de cero; de lo contrario la expresión es de primer grado y conviene usar una calculadora de inecuaciones lineales. Indica cuántas cifras significativas deseas mostrar y luego consulta el conjunto solución, el discriminante, las dos raíces y el vértice de la parábola que se usa para esbozar la gráfica.

El método explicado

Primero se calcula el discriminante $D = \text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}$. Si $D > 0$ hay dos raíces distintas, lo y hi; si $D = 0$ hay una raíz doble; y si $D < 0$ no existen raíces reales. La fórmula de las raíces es $$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ Después conviene recordar que la parábola se abre hacia arriba cuando $\text{a} > 0$ (negativa estrictamente entre las raíces, positiva fuera de ellas) y hacia abajo cuando $\text{a} < 0$ (los signos se invierten). Al comparar el signo elegido con estas regiones se obtiene la solución: fuera de las raíces para la familia "mayor", entre las raíces para la familia "menor", e incluyendo los extremos solo cuando los signos no son estrictos (≥, ≤).

Recta numérica dividida por dos raíces en tres intervalos con los signos de la expresión cuadrática — Las raíces dividen la recta numérica en intervalos; probar cada intervalo da el signo de la expresión.

Ejemplo resuelto

Resolvamos $x^{2} + x - 2 > 0$. Aquí $\text{a} = 1$, $\text{b} = 1$, $\text{c} = -2$. $$D = 1 - 4(1)(-2) = 9$$ por lo que $\sqrt{D} = 3$. Las raíces son $$\frac{-1 - 3}{2} = -2 \quad\text{y}\quad \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ así que lo = −2 y hi = 1. Como $\text{a} > 0$ y el signo es ">", la expresión es positiva fuera de las raíces, lo que da $x < -2$ o $x > 1$. El vértice está en $x = -0{,}5$, $y = -2{,}25$.

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre cuando D < 0? La parábola nunca toca el eje x. En una parábola que se abre hacia arriba la expresión es siempre positiva, de modo que ">" y "≥" dan todos los números reales, mientras que "<" y "≤" no tienen solución; en una parábola que se abre hacia abajo sucede lo contrario.

¿Por qué la raíz doble da un solo punto? Cuando $D = 0$ la parábola toca el eje en un único punto $r = -\text{b}/(2\,\text{a})$. Solo el signo no estricto que coincide con el lado del contacto (por ejemplo "≤" con $\text{a} > 0$) se cumple ahí, lo que da $x = r$.

¿Puede a ser cero? No. Con $\text{a} = 0$ la expresión es de primer grado, la fórmula de las raíces dividiría entre cero y la calculadora te pedirá que uses una calculadora de inecuaciones lineales.