Résolution d'inéquation du second degré en ligne

Discriminant Δ = b² − 4ac	9
Racine α	1
Racine β	-2
Sommet x = −b/(2a)	-0,5
Sommet y	-2,25
Orientation de la parabole	Upward (a > 0)

Qu'est-ce qu'une inéquation du second degré ?

Une inéquation du second degré compare un trinôme à zéro, par exemple $ax^2 + bx + c > 0$. Sa solution est l'ensemble de toutes les valeurs réelles de $x$ qui rendent l'inégalité vraie. Comme la courbe d'un trinôme est une parabole, l'ensemble solution prend toujours l'une de ces quelques formes : deux demi-droites tournées vers l'extérieur, un seul intervalle borné, l'ensemble des réels, un point isolé, ou aucune solution. Il s'agit de mathématiques pures, valables partout de la même façon.

Parabole tournée vers le haut coupant l'axe des x en deux racines, les zones au-dessus et en dessous de l'axe étant ombrées différemment — Une inéquation du second degré compare la parabole à zéro : la solution dépend de l'endroit où la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe des x.

Comment utiliser ce calculateur

Choisissez le sens de l'inégalité à appliquer à $ax^2 + bx + c$, puis saisissez les coefficients $a$, $b$ et $c$. Le coefficient $a$ doit être non nul : sinon l'expression devient linéaire (du premier degré) et il faut alors utiliser un solveur d'inéquation linéaire. Indiquez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis lisez l'ensemble solution, le discriminant, les deux racines et le sommet de la parabole servant au tracé.

La méthode expliquée

On calcule d'abord le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$, il existe deux racines distinctes (la plus petite et la plus grande) ; si $\Delta = 0$, il y a une racine double ; si $\Delta < 0$, il n'y a aucune racine réelle. La formule des racines est :

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ensuite, on remarque que la parabole est tournée vers le haut lorsque $a > 0$ (le trinôme est négatif strictement entre les racines, positif à l'extérieur) et vers le bas lorsque $a < 0$ (les signes s'inversent). En confrontant le sens choisi à ces régions, on obtient la solution : à l'extérieur des racines pour la famille « supérieur », entre les racines pour la famille « inférieur », les bornes n'étant incluses que pour les inégalités larges ($\ge$, $\le$).

$$ax^2 + bx + c > 0 \;\Rightarrow\; x < \alpha \;\text{ ou }\; x > \beta$$

Droite numérique divisée par deux racines en trois intervalles avec les signes de l'expression du second degré — Les racines découpent la droite numérique en intervalles ; tester chaque intervalle donne le signe de l'expression.

Exemple résolu

Résolvons $x^2 + x - 2 > 0$. Ici $a = 1$, $b = 1$, $c = -2$. $\Delta = 1 - 4(1)(-2) = 9$, donc $\sqrt{\Delta} = 3$. Les racines sont $(-1 - 3)/2 = -2$ et $(-1 + 3)/2 = 1$, soit $-2$ et $1$. Comme $a > 0$ et que le sens est « $>$ », le trinôme est positif à l'extérieur des racines, ce qui donne $x < -2$ ou $x > 1$. Le sommet est situé en $x = -0{,}5$, $y = -2{,}25$.

FAQ

Que se passe-t-il lorsque $\Delta < 0$ ? La parabole ne touche jamais l'axe des abscisses. Pour une parabole tournée vers le haut, le trinôme est toujours positif : « $>$ » et « $\ge$ » donnent l'ensemble des réels tandis que « $<$ » et « $\le$ » n'ont aucune solution ; pour une parabole tournée vers le bas, c'est l'inverse.

Pourquoi le cas de la racine double donne-t-il un point isolé ? Lorsque $\Delta = 0$, la parabole touche l'axe en un seul point $r = -b/(2a)$. Seule l'inégalité large correspondant au côté du contact (par exemple « $\le$ » avec $a > 0$) y est vérifiée, ce qui donne $x = r$.

Le coefficient $a$ peut-il être nul ? Non. Si $a = 0$, l'expression est du premier degré, la formule des racines divise par zéro, et le calculateur vous invite à utiliser plutôt un solveur d'inéquation linéaire.