Bất phương trình bậc hai là gì?
Bất phương trình bậc hai là phép so sánh một biểu thức bậc hai với số 0, chẳng hạn \(\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c} > 0\). Nghiệm của nó là tập hợp tất cả các giá trị thực của x làm cho mệnh đề đúng. Vì đồ thị của hàm bậc hai là một parabol, nên tập nghiệm luôn rơi vào một trong vài dạng quen thuộc: hai khoảng vô hạn hướng ra ngoài, một khoảng hữu hạn duy nhất, toàn bộ tập số thực, một điểm duy nhất, hoặc vô nghiệm. Đây là kiến thức toán học thuần túy nên đúng ở mọi nơi.
Cách dùng công cụ này
Trước tiên hãy chọn dấu bất phương trình bạn muốn áp dụng cho biểu thức \(\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c}\), sau đó nhập các hệ số a, b và c. Hệ số a phải khác 0; nếu a = 0 thì biểu thức trở thành bậc nhất và bạn nên dùng công cụ giải bất phương trình bậc nhất thay thế. Chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi đọc kết quả: tập nghiệm, biệt thức, hai nghiệm và tọa độ đỉnh parabol dùng để vẽ phác đồ thị.
Phương pháp giải
Đầu tiên, tính biệt thức \(D = \text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\). Nếu D > 0 thì có hai nghiệm phân biệt là lo và hi; nếu D = 0 thì có một nghiệm kép; còn nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm thực. Tiếp theo, lưu ý rằng parabol quay bề lõm lên trên khi a > 0 (biểu thức âm ở khoảng nằm giữa hai nghiệm và dương ở phía ngoài), và quay bề lõm xuống dưới khi a < 0 (dấu sẽ đảo ngược lại). Đối chiếu dấu bạn đã chọn với các miền này sẽ cho ra tập nghiệm: nằm ngoài hai nghiệm với nhóm dấu "lớn hơn", nằm giữa hai nghiệm với nhóm dấu "nhỏ hơn", và chỉ lấy thêm hai đầu mút khi dùng dấu không nghiêm ngặt (≥, ≤).
Ví dụ minh họa
Giải \(x^{2} + x - 2 > 0\). Ở đây a = 1, b = 1, c = −2. Ta có $$D = 1 - 4(1)(-2) = 9,$$ nên \(\sqrt{D} = 3\). Hai nghiệm là \((-1 - 3)/2 = -2\) và \((-1 + 3)/2 = 1\), tức lo = −2, hi = 1. Vì a > 0 và dấu là ">", biểu thức dương ở phía ngoài hai nghiệm, cho ra tập nghiệm \(x < -2\) hoặc \(x > 1\). Đỉnh parabol nằm tại x = −0,5; y = −2,25.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi D < 0? Parabol không cắt trục hoành. Với parabol lõm lên trên thì biểu thức luôn dương, nên dấu ">" và "≥" cho nghiệm là toàn bộ số thực, còn "<" và "≤" thì vô nghiệm; với parabol lõm xuống dưới thì kết quả ngược lại.
Vì sao trường hợp nghiệm kép lại cho ra một điểm duy nhất? Khi D = 0, parabol tiếp xúc với trục hoành tại đúng một điểm \(r = -\text{b}/(2\,\text{a})\). Chỉ có dấu không nghiêm ngặt khớp với phía tiếp xúc (ví dụ "≤" khi a > 0) mới được thỏa mãn tại đó, cho nghiệm \(x = r\).
Hệ số a có thể bằng 0 không? Không. Khi a = 0, biểu thức trở thành bậc nhất, công thức tính nghiệm sẽ chia cho 0, và công cụ sẽ nhắc bạn chuyển sang dùng trình giải bất phương trình bậc nhất.
