什么是一元二次不等式？
一元二次不等式就是把一个二次式与零进行比较，例如 \(\text{a}x^{2}+\text{b}x+\text{c} > 0\)。它的解，是所有使该式成立的实数 \(x\) 的集合。由于二次函数的图象是一条抛物线，所以解集的形态总是落在几种固定情况之中：向两侧延伸的两条射线、一段有界区间、全体实数、单独一个点，或者无解。这属于纯数学范畴，无论在哪个国家，规律都完全一致。
如何使用本计算器
先选择要作用于 \(\text{a}x^{2}+\text{b}x+\text{c}\) 的不等号，再依次输入系数 a、b、c。其中 \(\text{a}\) 必须不为零，否则该式退化为一次式，这时应改用一元一次不等式求解器。接着设定显示的有效数字位数，即可直接读出解集、判别式、两个根，以及用于画图的抛物线顶点。
解题方法详解
第一步，计算判别式 $$D = \text{b}^{2}-4\,\text{a}\,\text{c}$$ 当 \(D > 0\) 时，方程有两个不同的根 lo 和 hi；当 \(D = 0\) 时，有一个二重根；当 \(D < 0\) 时，没有实数根。第二步，判断抛物线的开口方向：当 \(\text{a} > 0\) 时开口向上（两根之间取负值，两根之外取正值），当 \(\text{a} < 0\) 时开口向下（正负号正好相反）。最后，把所选的不等号与这些区域对应起来即可得到解：「大于」一类取两根之外，「小于」一类取两根之间；只有非严格不等号（≥、≤）才把端点也包含进来。
例题演示
求解 \(x^{2}+x-2 > 0\)。这里 \(\text{a} = 1\)，\(\text{b} = 1\)，\(\text{c} = -2\)。\(D = 1-4(1)(-2) = 9\)，所以 \(\sqrt{D} = 3\)。两根为 \(\frac{-1-3}{2} = -2\) 与 \(\frac{-1+3}{2} = 1\)，即 lo \(= -2\)，hi \(= 1\)。由于 \(\text{a} > 0\) 且不等号为「>」，二次式在两根之外取正值，所以解为 \(x < -2\) 或 \(x > 1\)。顶点坐标为 \(x = -0.5\)，\(y = -2.25\)。 $$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$
常见问题
当 \(D < 0\) 时会怎样？此时抛物线不与 x 轴相交。对开口向上的抛物线，二次式恒为正，所以「>」和「≥」的解是全体实数，而「<」和「≤」则无解；开口向下的抛物线情况正好相反。
为什么二重根的情况只得到一个点？当 \(D = 0\) 时，抛物线在 \(r = \frac{-\text{b}}{2\,\text{a}}\) 处恰好与 x 轴相切。只有与相切方向相符的非严格不等号（例如 \(\text{a} > 0\) 时的「≤」）才在该点成立，从而解为 \(x = r\)。
\(\text{a}\) 可以等于零吗？不可以。当 \(\text{a} = 0\) 时，该式变成一次式，求根公式会出现除以零的情况，因此计算器会提示你改用一元一次不等式求解器。
