ما هي المتباينة التربيعية؟
المتباينة التربيعية هي علاقة تقارن مقدارًا تربيعيًا بالصفر، مثل \(\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c} > 0\). ويتمثّل حلّها في مجموعة كل قيم \(x\) الحقيقية التي تجعل العلاقة صحيحة. وبما أن التمثيل البياني للدالة التربيعية هو قطع مكافئ، فإن الحل يأخذ دائمًا أحد أشكال محدودة: شعاعين متّجهين إلى الخارج، أو فترة محصورة واحدة، أو جميع الأعداد الحقيقية، أو نقطة واحدة، أو عدم وجود حل على الإطلاق. وهذا مفهوم رياضي بحت ينطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا إشارة المتباينة التي تريد تطبيقها على المقدار \(\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c}\)، ثم أدخل المعاملات \(\text{a}\) و\(\text{b}\) و\(\text{c}\). يجب أن يكون المعامل \(\text{a}\) مخالفًا للصفر، وإلا تحوّل المقدار إلى مقدار خطّي وعليك حينها استخدام حاسبة المتباينات الخطية بدلًا من هذه. حدّد بعد ذلك عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها، ثم اقرأ مجموعة الحل والمميز والجذرين ورأس القطع المكافئ المستخدم في رسم المنحنى.
شرح الطريقة
احسب أولًا المميز \(D = \text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\). فإذا كان \(D > 0\) وُجد جذران مختلفان هما \(lo\) و\(hi\)؛ وإذا كان \(D = 0\) وُجد جذر مزدوج واحد؛ وإذا كان \(D < 0\) فلا توجد جذور حقيقية. ولاحظ بعد ذلك أن القطع المكافئ يفتح إلى الأعلى عندما يكون \(\text{a} > 0\) (فيكون المقدار سالبًا تمامًا بين الجذرين وموجبًا خارجهما)، ويفتح إلى الأسفل عندما يكون \(\text{a} < 0\) (فتنعكس الإشارات). ومطابقة الإشارة المختارة مع هذه المناطق تعطينا الحل: خارج الجذرين لعائلة «الأكبر»، وبين الجذرين لعائلة «الأصغر»، مع تضمين نقاط الطرفين فقط في حالة الإشارات غير الصارمة (≥، ≤).
مثال محلول
لنحل المتباينة \(x^{2} + x - 2 > 0\). هنا \(\text{a} = 1\)، \(\text{b} = 1\)، \(\text{c} = -2\). إذًا $$D = 1 - 4(1)(-2) = 9,$$ ومنه \(\sqrt{D} = 3\). والجذران هما $$\frac{-1 - 3}{2} = -2 \quad\text{و}\quad \frac{-1 + 3}{2} = 1,$$ أي \(lo = -2\) و\(hi = 1\). وبما أن \(\text{a} > 0\) والإشارة هي «>»، فإن المقدار يكون موجبًا خارج الجذرين، ويكون الحل \(x < -2\) أو \(x > 1\). ويقع رأس القطع المكافئ عند \(x = -0.5\)، \(y = -2.25\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما يكون \(D < 0\)؟ لا يلامس القطع المكافئ محور \(x\) إطلاقًا. ففي القطع المفتوح إلى الأعلى يكون المقدار موجبًا دائمًا، لذا تعطي الإشارتان «>» و«≥» جميع الأعداد الحقيقية، بينما لا تعطي «<» و«≤» أي حل؛ أما في القطع المفتوح إلى الأسفل فالعكس صحيح.
لماذا تعطي حالة الجذر المزدوج نقطة واحدة؟ عندما يكون \(D = 0\) يلامس القطع المكافئ المحور عند نقطة واحدة \(r = -\text{b}/(2\,\text{a})\). ولا تتحقق عندها إلا الإشارة غير الصارمة الموافقة لجهة الملامسة (مثل «≤» مع \(\text{a} > 0\))، فيكون الحل \(x = r\).
هل يمكن أن يكون \(\text{a}\) يساوي صفرًا؟ لا. فعند \(\text{a} = 0\) يصبح المقدار خطّيًا، وتتضمّن صيغة الجذور قسمةً على صفر، ولذلك تطلب منك الحاسبة استخدام حاسبة المتباينات الخطية بدلًا من ذلك.
