حاسبة المعادلة التربيعية (القانون العام)

أدخل الحساب

المعامل a:

المعامل b:

المعامل c:

نتائج

Quadratic equation: ax² + bx + c = 0

One real root:

x = -0.5

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحلّ حاسبة المعادلة التربيعية أي معادلة مكتوبة على الصورة القياسية \(ax^{2} + bx + c = 0\). كل ما عليك هو إدخال المعاملات الثلاثة، فتعرض لك الأداة جذور المعادلة (حلولها). والأهم أنها تتعامل تلقائيًا مع جميع الحالات الممكنة الثلاث: جذران حقيقيان مختلفان، أو جذر حقيقي مكرّر واحد، أو جذران مركّبان (تخيّليان). لست بحاجة لأن تحدّد مسبقًا أي حالة تنطبق — فالحاسبة تفحص المميِّز نيابةً عنك.

المُدخلات المطلوبة منك

• المعامل a — العدد المضروب في \(x^{2}\) (يجب ألا يساوي صفرًا، وإلا لم تعد المعادلة تربيعية).
• المعامل b — العدد المضروب في \(x\).
• المعامل c — الحدّ الثابت.

يمكن أن تكون القيم الثلاث موجبة أو سالبة، أعدادًا صحيحة أو عشرية. وتنسّق الحاسبة الناتج بحيث تظهر الإجابات الصحيحة من دون لاحقة ".0" غير الضرورية.

شرح القانون

تأتي النتيجة من القانون العام الشهير لحل المعادلة التربيعية:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

يُسمّى المقدار الواقع تحت الجذر التربيعي، أي \(b^{2} - 4ac\)، بـالمميِّز، وهو الذي يحدّد نوع الحل:

• المميِّز \(> 0\): جذران حقيقيان مختلفان.
• المميِّز \(= 0\): جذر حقيقي واحد يساوي \(-b / 2a\).
• المميِّز \(< 0\): جذران مركّبان، يُكتب كلٌّ منهما بجزء حقيقي (\(-b / 2a\)) يُضاف إليه أو يُطرح منه جزء تخيّلي (\(\sqrt{-\text{المميِّز}} / 2a\)) متبوعًا بالرمز "i".

اعلان

القانون العام للمعادلة التربيعية ومُميِّزها \(b^{2} - 4ac\) الذي يحدد طبيعة الجذور.

مثال محلول

لنفترض أن \(a = 1\)، \(b = -3\)، \(c = 2\). يكون المميِّز \((-3)^{2} - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\)، وهو موجب، فيوجد جذران حقيقيان:

• $$x = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$
• $$x = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$

أما إذا كانت \(a = 1\)، \(b = 0\)، \(c = 1\)، فإن المميِّز يساوي \(0 - 4 = -4\) (سالب)، ما يعطي الجذرين المركّبين \(0 + 1i\) و\(0 - 1i\).

كيف ترتبط إشارة المميِّز بعدد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور x: نقطتان أو نقطة أو لا شيء.

الأسئلة الشائعة

ماذا لو أدخلت صفرًا للمعامل a؟ عندئذٍ لا تبقى المعادلة تربيعية، والقسمة على \(2a\) (التي تصبح صفرًا) تنتج قيمة غير معرّفة. استخدم دائمًا قيمة لا تساوي صفرًا للمعامل a.

لماذا أحصل أحيانًا على جذور مركّبة؟ عندما يكون المميِّز سالبًا، لا يقطع القطع المكافئ المحور x أبدًا، فلا توجد حلول حقيقية — بل حلول مركّبة فقط تُعبَّر عنها بالوحدة التخيّلية "i".

هل يمكنني استخدام معاملات عشرية؟ نعم. تقبل الحاسبة الأعداد العشرية والسالبة، وتعرض الأعداد الصحيحة بشكل أنيق مع الحفاظ على الدقة العشرية حيثما لزم الأمر.