ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة أي معادلة تربيعية مكتوبة بالصورة القياسية \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0\) باستخدام القانون العام الشهير للمعادلة التربيعية. أدخل المعاملات الثلاثة لتحصل على الجذرين معًا، وقيمة المميِّز، وعبارة واضحة بلغة مبسطة تبيّن ما إذا كانت الجذور حقيقية أم عقدية. كما تتعامل الأداة مع المعاملات السالبة وتعرض الجذور العقدية المترافقة بالصيغة المألوفة \(p \pm q \cdot i\).
طريقة الاستخدام
اكتب معامل \(x^{2}\) في الحقل a، ومعامل \(x\) في الحقل b، والحد الثابت في الحقل c. يجب ألّا يساوي المعامل a صفرًا — فإذا كان صفرًا، تتحول المعادلة إلى معادلة خطية بدلًا من تربيعية، وتلجأ الحاسبة عندئذٍ إلى حل المعادلة \(b \cdot x + c = 0\). اضغط على زر الحساب لرؤية \(x_1\) و\(x_2\) وقيمة المميِّز.
شرح القانون
القانون العام للمعادلة التربيعية هو $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ ويُسمّى المقدار الواقع تحت الجذر التربيعي، أي \(D = b^{2} - 4ac\)، باسم المميِّز. وإشارة المميِّز تخبرك بكل شيء عن الجذور: فعندما يكون \(D > 0\) يوجد جذران حقيقيان مختلفان؛ وعندما يكون \(D = 0\) يوجد جذر حقيقي واحد فقط مكرَّر مرتين؛ وعندما يكون \(D < 0\) يوجد جذران عقديان مترافقان، جزؤهما الحقيقي \(-b/(2a)\) وجزؤهما التخيلي \(\sqrt{-D}/(2a)\).
مثال محلول
لنحلّ المعادلة \(x^{2} - 3x + 2 = 0\)، حيث \(a = 1\)، \(b = -3\)، \(c = 2\). المميِّز هو $$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ وهو موجب، إذن يوجد جذران حقيقيان. وبما أن \(\sqrt{1} = 1\)، نحصل على \(x_1 = (3 + 1)/2 = 2\) و\(x_2 = (3 - 1)/2 = 1\). ويمكن تحليل المعادلة إلى \((x - 2)(x - 1) = 0\)، وهو ما يؤكد صحة النتيجة.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المميِّز سالبًا؟ لا تملك المعادلة حلولًا حقيقية؛ وتعرض الحاسبة عندئذٍ جذرين عقديين مترافقين بالصيغة \(p \pm q \cdot i\).
لماذا يجب ألّا يساوي a صفرًا؟ لأن المقام \(2a\) سيصبح صفرًا، ولن تبقى المعادلة تربيعية. وتحلّ الحاسبة في هذه الحالة المعادلة الخطية \(x = -c/b\).
ما معنى الجذر المكرَّر؟ عندما يكون \(D = 0\) يلامس القطع المكافئ محور \(x\) عند نقطة واحدة فقط، فيكون الجذران متطابقين: \(x = -b/(2a)\).
