द्विघात सूत्र कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a =

b =

c =

a·x² + b·x + c = 0 हल करता है। गुणांक a शून्य नहीं होना चाहिए।

परिणाम

मूलों की प्रकृति

two distinct real roots

x₁	2.00000
x₂	1.00000
Discriminant (b² − 4ac)	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल मानक रूप a·x² + b·x + c = 0 में लिखे किसी भी द्विघात समीकरण को प्रसिद्ध द्विघात सूत्र (quadratic formula) की मदद से हल करता है। आप बस तीनों गुणांक डालिए और यह दोनों मूल, विविक्तकर (discriminant) का मान, तथा यह आसान भाषा में बता देता है कि मूल वास्तविक हैं या सम्मिश्र। यह ऋणात्मक गुणांकों को भी संभाल लेता है और सम्मिश्र संयुग्मी मूलों को जाने-पहचाने p ± q·i रूप में दिखाता है।

द्विघात के वास्तविक मूल वहाँ होते हैं जहाँ इसका परवलय x-अक्ष को काटता है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

x² के गुणांक को a में, x के गुणांक को b में और अचर पद को c में लिखिए। ध्यान रहे कि गुणांक a शून्य नहीं होना चाहिए — अगर यह 0 हो जाए तो समीकरण द्विघात नहीं बल्कि रैखिक हो जाता है, और तब कैलकुलेटर \(b\cdot x + c = 0\) हल करने लगता है। गणना करें (calculate) दबाते ही आपको \(x_1\), \(x_2\) और विविक्तकर दिख जाएँगे।

सूत्र को समझें

द्विघात सूत्र है $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ वर्गमूल के नीचे का व्यंजक, \(D = b^{2} - 4ac\), विविक्तकर (discriminant) कहलाता है। इसका चिह्न ही मूलों के बारे में सब कुछ बता देता है: जब \(D > 0\) हो तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं; जब \(D = 0\) हो तो ठीक एक वास्तविक मूल होता है जो दो बार दोहराया जाता है; और जब \(D < 0\) हो तो दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल मिलते हैं, जिनका वास्तविक भाग \(-b/(2a)\) और काल्पनिक भाग \(\sqrt{-D}/(2a)\) होता है।

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विविक्तकर मूलों की प्रकृति तय करता है: दो वास्तविक, एक दोहराया हुआ, या सम्मिश्र।

हल किया हुआ उदाहरण

आइए \(x^{2} - 3x + 2 = 0\) हल करें, यानी \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)। विविक्तकर है $$D = (-3)^{2} - 4\cdot 1\cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ जो धनात्मक है, इसलिए दो वास्तविक मूल मौजूद हैं। \(\sqrt{1} = 1\), जिससे \(x_1 = (3 + 1)/2 = 2\) और \(x_2 = (3 - 1)/2 = 1\) मिलते हैं। समीकरण के गुणनखंड \((x - 2)(x - 1) = 0\) भी इसी परिणाम की पुष्टि करते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर विविक्तकर ऋणात्मक हो तो क्या होगा? तब समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता; कैलकुलेटर दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल \(p \pm q\cdot i\) रूप में दिखा देता है।

a शून्य क्यों नहीं हो सकता? क्योंकि तब हर (denominator) \(2a\) शून्य हो जाएगा, और समीकरण द्विघात रह ही नहीं जाएगा। ऐसी स्थिति में यह कैलकुलेटर रैखिक हल \(x = -c/b\) निकाल देता है।

दोहराए गए मूल का क्या मतलब है? जब \(D = 0\) हो तो परवलय (parabola) x-अक्ष को केवल एक ही बिंदु पर छूता है, इसलिए दोनों मूल समान होते हैं: \(x = -b/(2a)\)।