Bu hesap makinesi ne işe yarar?
Bu araç, standart biçimde yazılan a·x² + b·x + c = 0 şeklindeki her ikinci dereceden denklemi klasik kök formülüyle çözer. Üç katsayıyı girmeniz yeterli; araç size her iki kökü, diskriminantın değerini ve köklerin reel mi yoksa karmaşık mı olduğunu anlaşılır bir dille söyler. Negatif katsayılarla da çalışır ve karmaşık eşlenik kökleri tanıdık p ± q·i biçiminde gösterir.
Nasıl kullanılır?
x²'nin katsayısını a alanına, x'in katsayısını b alanına ve sabit terimi c alanına yazın. a katsayısı 0 olamaz — eğer 0 olursa denklem ikinci dereceden değil birinci dereceden (doğrusal) olur ve hesap makinesi bu durumda \(b \cdot x + c = 0\) denklemini çözmeye geçer. Hesapla'ya basın; x₁, x₂ ve diskriminant karşınıza gelsin.
Formülün açıklaması
İkinci dereceden denklemin kök formülü şudur: $$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ Karekökün içindeki ifade olan \(D = \text{b}^{2} - 4\text{a}\text{c}\), diskriminant (delta) olarak adlandırılır. İşareti, kökler hakkında bilmeniz gereken her şeyi söyler: \(D > 0\) ise birbirinden farklı iki reel kök vardır; \(D = 0\) ise iki katlı tek bir reel kök vardır; \(D < 0\) ise reel kısmı \(-\text{b}/(2\text{a})\) ve sanal kısmı \(\sqrt{-D}/(2\text{a})\) olan iki karmaşık eşlenik kök vardır.
Çözümlü örnek
\(x^{2} - 3x + 2 = 0\) denklemini çözelim; burada \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\) olur. Diskriminant $$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ olur ve pozitif olduğundan iki reel kök vardır. \(\sqrt{1} = 1\) olduğundan $$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{ve} \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$$ bulunur. Denklem \((x - 2)(x - 1) = 0\) şeklinde çarpanlarına ayrılır ve bu da sonucu doğrular.
Sıkça sorulan sorular
Diskriminant negatif olursa ne olur? Denklemin reel çözümü yoktur; hesap makinesi \(p \pm q \cdot i\) biçiminde iki karmaşık eşlenik kök verir.
a neden sıfır olamaz? Payda olan \(2\text{a}\) sıfır olurdu ve denklem artık ikinci dereceden olmazdı. Bu durumda hesap makinesi doğrusal denklemi, yani \(x = -c/b\) çözümünü verir.
İki katlı (çakışık) kök ne anlama gelir? \(D = 0\) olduğunda parabol x eksenine yalnızca tek bir noktada teğet olur; dolayısıyla iki kök de aynıdır: \(x = -\text{b}/(2\text{a})\).
