Viète Formülü ile Pi Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Döngü sayısı (iterasyonlar)

Görüntülenen basamak sayısı 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Pi sayısını 4 kenarlı bir çokgenden 2^(n+1) kenarlı bir çokgene kadar yaklaşık hesaplar. Çift duyarlıklı yeniden yapım yaklaşık 15 anlamlı basamağı çözümler.

Formül

Show calculation steps (1)

1. Iterative form

   

   Running cosine half-angle product; s_k = cos(pi/2^(k+1)), pi = 2 divided by the product of all s_k.

Sonuç

Pi sayısının yaklaşık değeri

3,14159265358979

Viète'nin sonsuz çarpımıyla

Gerçekte kullanılan iterasyon sayısı	28
İstenen görüntü basamağı sayısı	26
Referans pi değeri	3.14159265358979

Viète Formülü Nedir?

Fransız matematikçi François Viète, 1593 yılında pi sabitini kapalı analitik biçimde ifade eden bilinen ilk sonsuz çarpımı yayımladı. Bu çarpım baştan sona, yarımın iç içe geçmiş karekökleri üzerine kuruludur. Bu hesaplama aracı söz konusu çarpımı seçtiğiniz terim sayısına kadar hesaplar ve değerin 3,14159265358979 sayısına ne kadar hızlı yakınsadığını gösterir. Bu tamamen saf matematiktir ve dünyanın neresinde olursanız olun aynı sonucu verir.

$$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots$$

Her bir iç içe kök çarpanı, yürüyen çarpımı 2/pi'ye biraz daha yaklaştırır.

Nasıl Kullanılır?

Bir döngü sayısı (hesaplanacak çarpım terimlerinin sayısı, varsayılan 100) girin ve kaç basamak görüntülemek istediğinizi seçin. Eklenen her terim, bir çokgenin kenar sayısının iki katına çıkmasına karşılık gelir; 4 kenarlı bir çokgenden başlanarak \(2^{n+1}\) kenarlı bir çokgene kadar ulaşılır. Bu yeniden yapım standart IEEE 754 çift duyarlık (double precision) aritmetiği kullandığından, pi yaklaşık 15 anlamlı basamağa kadar çözümlenir; görüntü basamağı seçeneği ise yalnızca çıktıyı o kadar haneye yuvarlar.

Formülün Açıklaması

s = 0 ve y = 1 ile başlayın. Her k adımında s değerini \((1 + s) / 2\) ifadesinin kareköküyle güncelleyin, ardından bu değeri yürüyen çarpım y ile çarpın. Her çarpan \(\cos(\pi / 2^{k+1})\) değerine eşittir ve bu kosinüslerin çarpımı 2/pi değerine yaklaşır. Dolayısıyla pi, 2'nin yürüyen çarpım y'ye bölünmesiyle yaklaşık olarak bulunur. Tahmin değeri pi'ye alttan yaklaşır ve her terimde yaklaşık bir doğru ikili (binary) basamak kazanır.

$$s_k=\sqrt{\tfrac{1+s_{k-1}}{2}},\quad y_k=\prod_{i=1}^{k}s_i,\quad \pi=\frac{2}{y_k}$$

Reklam

Terimler, sqrt(1/2 + 1/2 x) ifadesini kendi içine tekrar tekrar yerleştirerek oluşturulur.

Çözümlü Örnek

k=1: \(s = \sqrt{0{,}5} = 0{,}70710678\), \(y = 0{,}70710678\), \(\pi \approx 2{,}82842712\). k=2: \(s = 0{,}92387953\), \(y = 0{,}65328148\), \(\pi \approx 3{,}06146746\). k=3: \(\pi \approx 3{,}12144515\). k=4: \(\pi \approx 3{,}13654849\). k=20'ye gelindiğinde değer pi sayısıyla 14 ondalık basamağa kadar zaten uyuşur ve yaklaşık 30 ve üzeri herhangi bir döngü sayısı, çift duyarlıkta 3,14159265358979 değerini sabitler.

Sıkça Sorulan Sorular

Görüntü basamağını 15'in üzerine çıkarmak neden işe yaramaz? Standart çift duyarlıklı kayan nokta aritmetiği yalnızca yaklaşık 15 ila 16 anlamlı basamak tutabilir; bu nedenle alttaki matematik, seçenek ne olursa olsun bundan fazlasını çözümleyemez.

Küçük bir döngü sayısı neden kötü bir tahmin verir? Çarpım geometrik olarak yakınsar; yalnızca birkaç terimle hâlâ az kenarlı bir çokgeni yaklaşık hesaplamış olursunuz, dolayısıyla değer gözle görülür biçimde pi'nin altında kalır.

Sonuç hiç pi değerini aşar mı? Hayır. Her çarpan 1'den küçük bir kosinüs olduğundan, 2/y her zaman pi'ye alttan, yani bir alt tahmin olarak yaklaşır.