Japon Wasan Bilginlerinin Formülleriyle Pi (π) Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Hesaplama formülü Takebe Katahiro 1722 (pi²/9 için seri) Matsunaga Yoshisuke 1739 (pi/3 için seri)

Terim sayısı

Gösterilecek basamak sayısı 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Formül

Show calculation steps (1)

1. Takebe Katahiro (1722)

   

   Series converging to pi^2/9; the k-th term has numerator (k!)^2 over a product of consecutive integers from 3. pi = 3 times the square root of the sum.

Sonuç

Pi yaklaşık değeri

3,141592653589794

summed over 100 terms

Seri toplam değeri	1,047197551196598
Terim sayısı	100
İstenen basamak sayısı	26

Bu kod çift duyarlıklı kayan noktalı sayı kullanır; bu nedenle seçilen basamak sayısından bağımsız olarak doğruluk yaklaşık 15-16 anlamlı basamakta sabitlenir. Takebe Katahiro ve Matsunaga Yoshisuke'nin tarihteki 41 ya da 52 basamaklık sonuçlarını yeniden üretmek, keyfi duyarlıklı aritmetik gerektirir.

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, Japon "wasan" (geleneksel Japon matematiği) bilginlerinin geliştirdiği iki tarihî seriden birini toplayarak pi matematiksel sabitine yaklaşık bir değer hesaplar. İsterseniz pi karenin dokuzda birine yakınsayan Takebe Katahiro (1722) serisini, isterseniz pi sayısının üçte birine yakınsayan Matsunaga Yoshisuke (1739) serisini seçebilirsiniz. Konunun tarihsel çerçevesi Japonya'ya özgü olsa da, bu serilerin altında yatan matematik tamamen evrenseldir ve her yerde pi sayısına yakınsar.

Nasıl kullanılır?

Açılır menüden bir formül seçin, toplanacak terim sayısı N'i girin (terim sayısı arttıkça sonuç daha doğru olur) ve kaç basamak gösterilmesini istediğinizi belirleyin. Hesaplayıcı, pi yaklaşımını ve ham seri toplamını birlikte verir; böylece ara değeri de doğrulayabilirsiniz (Matsunaga için pi/3, Takebe için pi karenin dokuzda biri).

Formülün açıklaması

Matsunaga serisi şu şekilde yazılır:

$$\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2\cdot3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \cdots = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{((2k-1)!!)^2}{4\cdot6\cdots(4k+2)}$$

Matsunaga serisinde her terim, bir önceki terimi \((2k-1)\) kareyle çarpar ve \(4k\) çarpı \((4k+2)\) değerine böler; biriken toplam \(S\)'den \(\pi = 3S\) elde edilir. Takebe serisi ise şöyledir:

$$\frac{\pi^2}{9} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(k!)^2}{3\cdot4\cdots(2k+2)}$$

Takebe serisinde her terim \(k\) kareyle çarpılır ve \((2k+1)(2k+2)\) değerine bölünür; biriken toplamdan \(\pi = 3\sqrt{S}\) bulunur. Bu kademeli yineleme bağıntıları, devasa faktöriyellerin hesaplanmasını ve taşma (overflow) sorunlarını önler.

Wasan serisinde eklenen her terim daha küçüktür, bu yüzden kısmi toplam pi'ye yakınsar.

Çözümlü örnek

Matsunaga, \(N = 4\) terimle:

$$1 + \frac{1}{24} + \frac{9}{1920} + \frac{225}{322560} = 1.0470517113$$

yani pi yaklaşık olarak

$$3 \times 1.0470517113 = 3.1411551340$$

çıkar. 100 terimle sonuç, tam çift duyarlıklı (double-precision) doğruluğa, yani yaklaşık \(3.14159265358979\) değerine ulaşır.

Kısmi toplamlar (1 terim, 2 terim, 3 terim...) pi değerine doğru tırmanır.

Sıkça sorulan sorular

Daha fazla basamak eklemek neden doğruluğu artırmıyor? Bu hesaplama çift duyarlıklı (double-precision) aritmetikle çalışır ve bu da yaklaşık 15-16 anlamlı basamakla sınırlıdır. Takebe ve Matsunaga'nın tarihteki 41 ve 52 basamaklık başarıları, keyfi duyarlıklı (BigDecimal) matematik gerektirir.

1 terim girersem ne olur? Seri yalnızca baştaki 1 değerini verir, bu yüzden her iki formül de pi'yi yaklaşık 3 olarak döndürür.

Hangi seri daha hızlı yakınsar? Her ikisi de istikrarlı biçimde yakınsar; pratikte birkaç yüz terim, çift duyarlığın sınırına ulaşmak için yeterlidir.