Calculateur de Pi (π) selon les formules des savants japonais du wasan

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Formule de calcul Takebe Katahiro 1722 (série pour π²/9) Matsunaga Yoshisuke 1739 (série pour π/3)

Nombre de termes

Décimales affichées 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Formule

Show calculation steps (1)

1. Takebe Katahiro (1722)

   

   Series converging to pi^2/9; the k-th term has numerator (k!)^2 over a product of consecutive integers from 3. pi = 3 times the square root of the sum.

Résultats

Approximation de pi

3,141592653589794

summed over 100 terms

Valeur de la somme de la série	1,047197551196598
Nombre de termes	100
Décimales d'affichage demandées	26

Ce module utilise des nombres à virgule flottante en double précision : la précision plafonne donc autour de 15 à 16 chiffres significatifs, quel que soit le nombre de décimales choisi. Reproduire les résultats historiques de Takebe Katahiro et Matsunaga Yoshisuke, à 41 ou 52 décimales, nécessiterait une arithmétique à précision arbitraire.

Ce que fait ce calculateur

Cet outil approche la constante mathématique pi en sommant l'une de deux séries historiques élaborées par des savants du « wasan » (les mathématiques traditionnelles japonaises). Vous pouvez opter pour la série de Takebe Katahiro (1722), qui converge vers pi au carré divisé par neuf, ou pour celle de Matsunaga Yoshisuke (1739), qui converge vers pi divisé par trois. Si le cadre historique est japonais, les séries sous-jacentes relèvent des mathématiques pures et universelles : elles convergent vers pi partout, quelle que soit l'origine du lecteur.

Mode d'emploi

Sélectionnez une formule dans le menu déroulant, saisissez le nombre de termes N à additionner (plus il y a de termes, plus le résultat est précis), puis choisissez le nombre de décimales à afficher. Le calculateur renvoie l'approximation de pi ainsi que la somme brute de la série, ce qui vous permet de vérifier la valeur intermédiaire (\(\pi/3\) pour Matsunaga, \(\pi^2/9\) pour Takebe).

La formule expliquée

Pour Matsunaga, chaque terme successif multiplie le précédent par (2k−1) au carré et le divise par 4k fois (4k+2) ; la somme courante S donne pi = 3S. Pour Takebe, chaque terme multiplie par k au carré et divise par (2k+1)(2k+2) ; la somme courante donne pi = 3 fois la racine carrée de S. Recourir à ces récurrences incrémentales évite de calculer d'énormes factorielles et prévient tout dépassement de capacité.

$$\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2\cdot3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \cdots$$

$$\frac{\pi}{3} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{((2k-1)!!)^2}{4\cdot6\cdots(4k+2)}$$

$$\frac{\pi^2}{9} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(k!)^2}{3\cdot4\cdots(2k+2)}$$

Chaque terme ajouté à la série wasan est plus petit, donc la somme partielle converge vers pi.

Exemple détaillé

Matsunaga avec N = 4 termes :

$$1 + \frac{1}{24} + \frac{9}{1920} + \frac{225}{322560} = 1{,}0470517113$$

d'où

$$\pi \approx 3 \times 1{,}0470517113 = 3{,}1411551340$$

Avec 100 termes, le résultat atteint la pleine précision en double, soit environ \(3{,}14159265358979\).

Les sommes partielles (1 terme, 2 termes, 3 termes...) s'approchent de la valeur de pi.

FAQ

Pourquoi ajouter des décimales n'améliore-t-il pas la précision ? Le calcul s'effectue en arithmétique à double précision, limitée à environ 15 à 16 chiffres significatifs. Les exploits historiques de Takebe et Matsunaga, à 41 et 52 décimales, exigent une arithmétique à précision arbitraire (BigDecimal).

Que se passe-t-il si je saisis 1 terme ? La série ne renvoie que le 1 initial : les deux formules donnent alors \(\pi \approx 3\).

Quelle série converge le plus vite ? Les deux convergent de manière régulière ; en pratique, quelques centaines de termes suffisent pour atteindre la limite de la double précision.