ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة قيمة تقريبية للثابت الرياضي باي (π) عن طريق جمع حدود إحدى متسلسلتين تاريخيتين طوّرهما علماء "الواسان" (الرياضيات اليابانية التقليدية). يمكنك اختيار متسلسلة تاكيبي كاتاهيرو (1722) التي تتقارب نحو القيمة \(\pi^2/9\)، أو متسلسلة ماتسوناغا يوشيسوكي (1739) التي تتقارب نحو القيمة \(\pi/3\). ورغم أن الإطار التاريخي ياباني خالص، فإن المتسلسلتين تنتميان إلى الرياضيات الخالصة العالمية وتتقاربان نحو قيمة الباي ذاتها في كل مكان.
كيفية الاستخدام
اختر إحدى الصيغ من القائمة المنسدلة، ثم أدخل عدد الحدود N المراد جمعها (كلما زاد عدد الحدود ازدادت دقة النتيجة)، واختر عدد الأرقام التي تريد عرضها. تُرجِع الحاسبة القيمة التقريبية للباي إضافةً إلى مجموع المتسلسلة الخام كي تتمكن من التحقق من القيمة الوسيطة (\(\pi/3\) لمتسلسلة ماتسوناغا، و\(\pi^2/9\) لمتسلسلة تاكيبي).
شرح الصيغة
في متسلسلة ماتسوناغا، يُضرب كل حدّ في الحدّ الذي يسبقه بمقدار مربع \((2k-1)\) ويُقسم على \(4k\) مضروباً في \((4k+2)\)؛ ويعطي المجموع الجاري \(S\) القيمة \(\pi = 3S\).
$$\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2\cdot3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \cdots$$أما في متسلسلة تاكيبي، فيُضرب كل حدّ بمربع \(k\) ويُقسم على \((2k+1)(2k+2)\)؛ ويعطي المجموع الجاري القيمة \(\pi = 3\sqrt{S}\).
$$\frac{\pi^2}{9} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(k!)^2}{3\cdot4\cdots(2k+2)}$$واستخدام هذه العلاقات التراجعية التدريجية يجنّبنا حساب مضروبات (factorials) هائلة، ويمنع حدوث الفيض (overflow).
مثال محلول
متسلسلة ماتسوناغا بعدد حدود N = 4:
$$1 + \frac{1}{24} + \frac{9}{1920} + \frac{225}{322560} = 1.0470517113$$وبذلك تكون قيمة باي تقريباً
$$\pi \approx 3 \times 1.0470517113 = 3.1411551340$$ومع 100 حدّ تصل النتيجة إلى أقصى دقة في الفاصلة العائمة المزدوجة، أي نحو \(3.14159265358979\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تتحسّن الدقة عند زيادة عدد الأرقام المعروضة؟ تعمل هذه الأداة بحساب الفاصلة العائمة المزدوجة (double-precision)، وهي محدودة بنحو 15 إلى 16 رقماً معنوياً. أما الإنجازات التاريخية لتاكيبي وماتسوناغا التي بلغت 41 و52 رقماً فتتطلب حسابات بدقّة اعتباطية (BigDecimal).
ماذا يحدث إذا أدخلت حدّاً واحداً فقط؟ تُرجِع المتسلسلة الحدّ الأول 1 فحسب، لذا تعطي كلتا الصيغتين قيمة باي تساوي نحو 3.
أيّ المتسلسلتين أسرع تقارباً؟ كلتاهما تتقارب باطّراد؛ وعملياً يكفي بضع مئات من الحدود للوصول إلى حدّ دقّة الفاصلة العائمة المزدوجة.
