Калькулятор числа Пи (π) по формулам японских учёных васан

Введите расчет

Формула расчёта Такэбэ Катахиро, 1722 (ряд для π²/9) Мацунага Ёсисукэ, 1739 (ряд для π/3)

Число членов суммы

Знаков для вывода 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Takebe Katahiro (1722)

   

   Series converging to pi^2/9; the k-th term has numerator (k!)^2 over a product of consecutive integers from 3. pi = 3 times the square root of the sum.

Результатов

Приближение числа Пи

3,141592653589794

summed over 100 terms

Значение суммы ряда	1,047197551196598
Число членов суммы	100
Запрошено знаков для вывода	26

Этот калькулятор использует числа с плавающей запятой двойной точности, поэтому точность выходит на «плато» около 15–16 значащих цифр независимо от выбранного числа выводимых знаков. Чтобы воспроизвести исторические результаты Такэбэ Катахиро и Мацунага Ёсисукэ в 41 и 52 знака, понадобилась бы арифметика произвольной точности.

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент вычисляет приближённое значение математической константы Пи, суммируя один из двух исторических рядов, которые разработали японские учёные направления «васан» — традиционной японской математики эпохи Эдо. Вы можете выбрать ряд Такэбэ Катахиро (1722), сходящийся к значению Пи в квадрате, делённому на девять, либо ряд Мацунага Ёсисукэ (1739), сходящийся к Пи, делённому на три. Историческая «обёртка» здесь японская, однако сами ряды — это чистая, универсальная математика, и они сходятся к Пи в любой стране и в любую эпоху.

Как пользоваться

Выберите формулу из выпадающего списка, укажите число членов \(N\), которые нужно просуммировать (чем больше членов, тем точнее результат), и задайте, сколько знаков выводить на экран. Калькулятор покажет приближение числа Пи, а также «сырую» сумму ряда, чтобы вы могли проверить промежуточное значение (\(\pi/3\) для ряда Мацунага и \(\pi^2/9\) для ряда Такэбэ).

Разбор формулы

В ряде Мацунага каждый следующий член получается из предыдущего умножением на \((2k-1)\) в квадрате и делением на \(4k\), умноженное на \((4k+2)\); текущая сумма \(S\) даёт \(\pi = 3S\). В ряде Такэбэ каждый член умножается на \(k\) в квадрате и делится на \((2k+1)(2k+2)\); текущая сумма даёт \(\pi = 3\sqrt{S}\). Использование таких пошаговых рекуррентных соотношений избавляет от вычисления гигантских факториалов и предотвращает переполнение.

$$\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2\cdot3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \cdots$$

Каждый новый член ряда васан меньше предыдущего, поэтому частичная сумма сходится к пи.

Пример расчёта

Ряд Мацунага при \(N = 4\):

$$1 + \frac{1}{24} + \frac{9}{1920} + \frac{225}{322560} = 1{,}0470517113$$

отсюда Пи примерно равно

$$\pi \approx 3 \times 1{,}0470517113 = 3{,}1411551340$$

При 100 членах результат достигает полной точности двойной разрядности — около \(3{,}14159265358979\).

Частичные суммы (1 член, 2 члена, 3 члена...) приближаются к значению пи.

Частые вопросы

Почему увеличение числа выводимых знаков не повышает точность? Расчёт выполняется в арифметике двойной точности (double), которая ограничена примерно 15–16 значащими цифрами. Исторические достижения Такэбэ и Мацунага — 41 и 52 верных знака — требуют арифметики произвольной точности (BigDecimal).

Что будет, если ввести 1 член? Ряд вернёт только ведущую единицу, поэтому обе формулы дадут Пи примерно равное 3.

Какой ряд сходится быстрее? Оба сходятся устойчиво; на практике нескольких сотен членов достаточно, чтобы достичь предела двойной точности.