Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет математическую константу Пи, используя одну из нескольких исторических двучленных формул «типа Мэчина» с арктангенсами. Каждая такая формула представляет Pi/4 в виде взвешенной суммы двух арктангенсов небольших рациональных чисел, а каждый арктангенс раскладывается в классический степенной ряд Грегори — Лейбница. Поскольку аргументы малы, ряд сходится быстро, и для полной точности с двойной точностью (double) достаточно всего нескольких членов.
Как пользоваться
Выберите одну из знаменитых формул в выпадающем списке — Мэчин (1706), Герман (1706), Эйлер (1738), Эйлер и Вега (1755) или Хаттон (1776). Укажите нужное количество значащих цифр и ограничение на число членов ряда (максимум итераций). Калькулятор вернёт вычисленное значение Пи, число просуммированных членов до момента, когда очередной член стал меньше допуска, и абсолютную погрешность по сравнению с истинным значением Пи.
Обратите внимание: эта обновлённая версия использует арифметику с плавающей точкой двойной точности (IEEE double), которая достоверна примерно до 15–16 значащих цифр. Значения выше этого порога ограничиваются 15 цифрами; для диапазонов 22–50 цифр исходного инструмента потребовалась бы арифметика произвольной точности.
Разбор формулы
Общее тождество имеет вид $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ Ряд Грегори \(\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) суммируется член за членом, пока очередной член не станет меньше допуска \(0{,}5\times10^{-(\text{цифры}+2)}\). Чем меньше аргумент, тем быстрее сходится ряд: значения \(1/5\) и \(1/239\) у Мэчина достигают высокой точности за гораздо меньшее число членов, чем \(1/2\) и \(1/3\) у Эйлера.
Разобранный пример (Мэчин, 1706)
При \(\text{arg}_1 = 1/5\) и \(c_1 = 4\) имеем \(\arctan(0{,}2) \approx 0{,}19739555985\). При \(\text{arg}_2 = 1/239\) и \(c_2 = -1\) получаем \(\arctan(1/239) \approx 0{,}00418407600\). Тогда $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0{,}19739555985 - 0{,}00418407600 = 0{,}78539816339,$$ откуда $$\pi = 4\cdot 0{,}78539816339 = 3{,}14159265359$$ — совпадает с истинным значением.
Частые вопросы
Почему ряда Лейбница (arctan 1) нет в списке? Потому что \(\arctan(1) = \pi/4\) сходится мучительно медленно — тысячи членов дают лишь несколько верных цифр, — поэтому он упоминается ради истории, но не предлагается как быстрая формула.
Почему формуле Мэчина нужно меньше членов, чем формуле Эйлера? Её аргументы (\(1/5\), \(1/239\)) меньше, а ряд Грегори сходится тем быстрее, чем меньше \(|x|\).
Можно ли получить здесь 40 знаков Пи? С двойной точностью — нет; результат надёжен примерно до 15 цифр. Для большей точности нужна арифметика с большими десятичными числами (big-decimal).
