Что такое калькулятор числа пи по формулам типа Мэчина?
Этот инструмент вычисляет математическую константу пи с помощью одной из шести исторических четырёхчленных арктангенсных формул «типа Мэчина». Каждая формула представляет пи/4 в виде взвешенной суммы четырёх слагаемых вида arctg(1/x) с большими значениями x, благодаря чему лежащий в основе ряд Грегори сходится очень быстро. Все шесть формул дают одно и то же число пи — различаются они только скоростью сходимости и историей появления.
Как пользоваться калькулятором
Выберите формулу из выпадающего списка (Гаусс, 1863; Стёрмер, 1896; Эскотт, 1896; К. Такано, 1982; Т. Мурата, 1982 или А. Сибата, 1983) и укажите, сколько значащих цифр выводить. Калькулятор вычислит каждый арктангенс и сложит их в число пи. Поскольку расчёт идёт с плавающей точкой двойной точности, реальная точность составляет около 15–16 значащих цифр — независимо от того, сколько знаков вы запросили к показу.
Разбор формулы
Формула типа Мэчина имеет вид: $$\frac{\pi}{4} = a_1\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\arctan\frac{1}{b_4}.$$ Каждый арктангенс можно вычислить через ряд Грегори: $$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots,$$ который сходится тем быстрее, чем меньше \(x = 1/b\). Умножив взвешенную сумму на 4, мы получаем пи.
Пример вычисления
Возьмём формулу Гаусса (1863): $$\frac{\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{38} + 20\arctan\frac{1}{57} + 7\arctan\frac{1}{239} + 24\arctan\frac{1}{268}.$$ Вычисление арктангенсов даёт \(0{,}0263097861\), \(0{,}0175420604\), \(0{,}0041840760\) и \(0{,}0037313259\). Взвешенная сумма равна \(0{,}785398163\), а после умножения на 4 получаем $$\pi = 3{,}14159265358979.$$
Часто задаваемые вопросы
Почему все формулы дают один и тот же результат? Это алгебраически эквивалентные тождества для пи/4 — различается лишь скорость сходимости.
Можно ли получить 50 знаков? К показу можно запросить до 50 цифр, но стандартная двойная точность ограничена примерно 15–16 значащими цифрами, поэтому остальные знаки недостоверны.
Что такое формула типа Мэчина? Это обобщение формулы Джона Мэчина 1706 года \(\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\), в котором используются слагаемые-арктангенсы с малыми аргументами для быстрой сходимости.
