Qu'est-ce que le calculateur de Pi de type Machin ?
Cet outil calcule la constante mathématique pi à l'aide de l'une des six formules historiques « de type Machin » à quatre termes en arc tangente. Chaque formule exprime pi/4 comme une somme pondérée de quatre termes arctan(1/x) où x est grand, de sorte que la série de Gregory sous-jacente converge rapidement. Les six formules produisent exactement la même constante pi : elles ne diffèrent que par leur vitesse de convergence et leur origine historique.
Comment l'utiliser
Choisissez une formule dans le menu déroulant (Gauss 1863, Størmer 1896, Escott 1896, K. Takano 1982, T. Murata 1982 ou A. Shibata 1983), puis indiquez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Le calculateur évalue alors chaque arc tangente et les combine pour obtenir pi. Comme cette version repose sur l'arithmétique à virgule flottante en double précision, la précision réelle se situe autour de 15 à 16 chiffres significatifs, quel que soit le réglage d'affichage plus élevé que vous sélectionnez.
La formule expliquée
Une formule de type Machin s'écrit sous la forme $$\frac{\pi}{4} = a_1\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\arctan\frac{1}{b_4}.$$ Chaque arc tangente se calcule avec la série de Gregory $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots,$$ qui converge d'autant plus vite que \(x = 1/b\) est petit. En multipliant la somme pondérée par \(4\), on obtient pi.
Exemple détaillé
Avec la formule de Gauss (1863) : $$\frac{\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{38} + 20\arctan\frac{1}{57} + 7\arctan\frac{1}{239} + 24\arctan\frac{1}{268}.$$ L'évaluation des arcs tangentes donne \(0{,}0263097861\) ; \(0{,}0175420604\) ; \(0{,}0041840760\) et \(0{,}0037313259\). La somme pondérée vaut \(0{,}785398163\) et, multipliée par \(4\), elle donne $$\pi = 3{,}14159265358979.$$
Questions fréquentes
Pourquoi toutes les formules donnent-elles le même résultat ? Ce sont des identités algébriquement équivalentes pour pi/4 ; seule leur vitesse de convergence diffère.
Puis-je obtenir 50 chiffres ? L'affichage permet de demander jusqu'à 50 chiffres, mais la double précision standard plafonne autour de 15 à 16 chiffres significatifs : les chiffres supplémentaires ne sont donc pas fiables.
Qu'est-ce qu'une formule de type Machin ? Il s'agit d'une généralisation de la formule de John Machin (1706) $$\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},$$ qui utilise des termes en arc tangente à petits arguments pour accélérer la convergence.
