什麼是 Machin 類圓周率計算器？
這個工具會從六種經典的「Machin 類」四項反正切公式中選用一種來計算圓周率 π。每一條公式都把 π/4 表示為四個 arctan(1/x) 項的加權總和，而其中的 x 都相當大，因此底層的格雷戈里級數能夠快速收斂。六條公式算出的常數完全相同，都是 π，差別只在於收斂速度與各自的歷史背景。
使用方式
從下拉選單挑選一條公式（高斯 1863、Størmer 1896、Escott 1896、高野 1982、村田 1982 或柴田 1983），再選擇要顯示的有效位數。計算器會逐一計算每個反正切值，並將它們合併成 π。由於本版本採用雙精度浮點數運算，無論你選擇較大的顯示位數，實際有效精度大約落在 15 至 16 個有效位數。
公式說明
Machin 類公式的形式為 $$\frac{\pi}{4} = a_1\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\arctan\frac{1}{b_4}$$ 每個反正切都可以用格雷戈里級數 $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ 來計算；當 \(x = 1/b\) 很小時，這個級數收斂得非常快。最後把加權總和乘以 4，就得到 π。
實際範例
以高斯公式（1863）為例：$$\frac{\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{38} + 20\arctan\frac{1}{57} + 7\arctan\frac{1}{239} + 24\arctan\frac{1}{268}$$ 計算各個反正切值可得 \(0.0263097861\)、\(0.0175420604\)、\(0.0041840760\) 與 \(0.0037313259\)。其加權總和為 \(0.785398163\)，再乘以 4 即得 \(\pi = 3.14159265358979\)。
常見問題
為什麼所有公式算出來的答案都一樣？它們在代數上都是 π/4 的等價恆等式，只是收斂速度不同而已。
我能算到 50 位嗎？顯示選項最多可要求 50 位數，但標準雙精度運算的上限大約只到 15 至 16 個有效位數，超出的位數並不可靠。
什麼是 Machin 類公式？它是 John Machin 在 1706 年提出之公式 \(\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\) 的推廣，利用引數較小的反正切項來達成快速收斂。
