這個計算器能做什麼
本工具透過逐項累加三組著名的快速收斂無窮級數之一，來計算數學常數圓周率 π：拉馬努金 1914 年的第一組級數、拉馬努金 1914 年的第二組級數，或是楚德諾夫斯基兄弟在 1987 年提出的級數。這些級數之所以驚人，是因為每多加一項就能一次貢獻好幾位正確的小數位，因此只需寥寥數項，就能把 π 算到雙精度浮點數的完整精度。這是純粹的數學，放諸四海皆準，不受任何地區規則影響。
使用方式
先從下拉選單挑選一組公式，設定要累加的最大項數，再選擇要顯示的小數位數。計算器會從 \(n = 0\)、1、2……依序累加各項，一旦 π 的當前數值不再變動便提前停止——通常在數項之內就會發生。由於運算引擎採用 IEEE-754 雙精度浮點數，無論顯示設定為何，大約 15 至 16 位有效數字都能保證準確。
公式解析
拉馬努金第一式計算的是 π 的倒數：以常數前置因子 \(\frac{\sqrt{8}}{9801}\) 乘上一個無窮級數，其第 \(n\) 項由階乘比 \(\frac{(4n)!}{(4^n n!)^4}\) 與線性因子 \((1103 + 26390n)\) 相乘，再除以 \(99^{4n}\) 組成。完整的公式為
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$當級數和 \(S\) 求出後，再以 \(\frac{1}{\text{前置因子} \times S}\) 還原出 π。楚德諾夫斯基級數運作原理類似，但收斂得更快，每一項約可貢獻 14 位數字：
$$\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6n)!\,(13591409 + 545140134n)}{(3n)!\,(n!)^3\,(640320^3)^{n+1/2}}$$
實例演算
以拉馬努金第一式且僅取 \(n=0\) 項為例：前置因子為 \(\frac{\sqrt{8}}{9801} = 0.000288583\ldots\)，而 \(n=0\) 項為 1 乘以 \(1103 = 1103\)。因此
$$\frac{1}{\pi} = 0.000288583 \times 1103 = 0.31831\ldots$$得到 \(\pi = 3.14159273\)，已準確到約六位小數。再加上 \(n=1\) 項後，π 便達到 \(3.14159265358979\)，準確至約 16 位數字。
常見問題
為什麼把顯示位數的下拉選單調高，精度卻沒有提升？雙精度浮點數只能承載約 15 至 16 位有效數字；要超越此範圍，必須改用任意精度運算。
我究竟需要累加幾項？若要達到完整的雙精度，拉馬努金第一式約需 2 項，楚德諾夫斯基級數僅需 1 至 2 項。
哪一組級數最快？楚德諾夫斯基級數收斂最快，也正是現代圓周率紀錄計算所採用的演算法。
